Monomi e Polinomi

1. Il Coefficiente

Il coefficiente di un monomio è la parte numerica (intera o frazionaria) che precede le lettere. Bisogna stare attenti ai casi in cui non si vede nulla o c'è solo un segno.

  • $x^3y^2$ → Davanti alle lettere non c'è scritto nulla, quindi il coefficiente è $1$.
  • $-axy$ → C'è solo il segno meno, quindi il coefficiente è $-1$.
  • $\dfrac{2}{3}a^4$ → Il coefficiente è la frazione $\dfrac{2}{3}$.

2. Grado di un Monomio

Per trovare il grado complessivo, dobbiamo sommare tutti gli esponenti delle lettere (ricordando che se una lettera non ha esponente, vale $1$).

Monomio: $-2a x y$      Grado 3
Monomio: $\dfrac{3}{4}x^3 y z$        Grado 5

3. Somma e Differenza (Solo tra Simili)

Regola d'oro: si sommano o sottraggono i coefficienti e si ricopia la parte letterale.

Esempio con frazioni e mcm:

Espressione: $\dfrac{1}{2}b + \dfrac{3}{4}b$

Passaggio 1 (Metto i coefficienti in parentesi): $\left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \right)b$
Passaggio 2 (Calcolo mcm tra 2 e 4): $\left( \dfrac{2 + 3}{4} \right)b$
Passaggio 3 (Sommo i numeratori): $\dfrac{5}{4}b$

Esempio con numeri interi:

Espressione: $-2a + 3a$
Sviluppo: $(-2 + 3)a$
Risultato: $+1a= a$    (si scrive semplicemente $a$)

4. Prodotto di Monomi

Si moltiplicano i segni (regola dei segni), poi i numeri, e infine si sommano gli esponenti delle lettere uguali.

Espressione: $(-2a) \cdot (-3a)$
1. Segno: $(- \cdot -) \rightarrow +$
2. Numeri: $2 \cdot 3 = 6$
3. Lettere: $a^1 \cdot a^1 = a^{1+1} = a^2$
Risultato: $+6a^2$

Esempio 1: Coefficienti interi e tre lettere

Espressione: $( -3x^2yz^3 ) \cdot ( +4x^3y^2 )$

  1. Segno: $( - ) \cdot ( + ) = -$

  2. Numeri: $3 \cdot 4 = 12$

  3. Lettera $x$: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$

  4. Lettera $y$: $y^1 \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3$

  5. Lettera $z$: $z^3 \cdot z^0 = z^3$ (rimane invariata)

Risultato finale: $-12x^5y^3z^3$

Esempio 2: Coefficienti frazionari con "taglio"

Espressione: $\left( -\dfrac{5}{6}a^2b \right) \cdot \left( -\dfrac{3}{10}abc^2 \right)$

  1. Segno: $( - ) \cdot ( - ) = +$

  2. Coefficienti: $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{10}$

    Facciamo i tagli (semplificazione a croce):

    • Il $5$ e il $10$ si semplificano per $5$: $\dfrac{\cancel{5}^1}{\cancel{6}} \cdot \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{10}_2}$

    • Il $3$ e il $6$ si semplificano per $3$: $\dfrac{1}{\cancel{6}_2} \cdot \dfrac{\cancel{3}^1}{2}$

    Calcolo finale della frazione: $\dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{4}$

  3. Lettera $a$: $a^2 \cdot a^1 = a^3$

  4. Lettera $b$: $b^1 \cdot b^1 = b^2$

  5. Lettera $c$: rimane $c^2$

Risultato finale: $+\dfrac{1}{4}a^3b^2c^2$

Esempio 3: Frazione per Intero con "taglio"

Espressione: $\left( +\dfrac{2}{7}m^4n \right) \cdot ( -14m^2n^3p^5 )$

  1. Segno: $( + ) \cdot ( - ) = -$

  2. Coefficienti: $\dfrac{2}{7} \cdot 14 \rightarrow \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{14}{1}$

    Semplifichiamo il $7$ e il $14$ (dividendo per $7$):


    $$\dfrac{2}{\cancel{7}_1} \cdot \dfrac{\cancel{14}^2}{1} = \dfrac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 4$$

  3. Lettera $m$: $m^4 \cdot m^2 = m^6$

  4. Lettera $n$: $n^1 \cdot n^3 = n^4$

  5. Lettera $p$: rimane $p^5$

Risultato finale: $-4m^6n^4p^5$


5. Potenza

Espressione: $(-3a^3b^2)^2$
1. Segno e numero: $(-3)^2 = +9$
2. Lettera a: $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$
3. Lettera b: $(b^2)^2 = b^{2 \cdot 2} = b^4$
Risultato: $9a^6b^4$
Ricorda: qualsiasi monomio elevato a $0$ fa sempre $1$. Esempio: $(-2a)^0 = 1$

6. Divisione (Regola della Croce)

Per i coefficienti frazionari, usiamo il metodo diretto: $\text{num} \cdot \text{den} / \text{den} \cdot \text{num}$.

Espressione: $\left( -\dfrac{2}{3}a^5 \right) : \left( -\dfrac{4}{9}a^2 \right)$

1. Segno: $(- : -) \rightarrow +$
2. Coefficiente (croce): $\dfrac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \dfrac{18}{12}$
3. Semplifico la frazione: $\dfrac{18}{12} \text{ (divido per 6)} = \dfrac{3}{2}$
4. Lettere: $a^{5-2} = a^3$
Risultato: $+\dfrac{3}{2}a^3$

Esempio con più lettere:

Espressione: $(12x^4y^3z^2) : (-4x^2yz^2)$
1. Segno: $(+ : -) \rightarrow -$
2. Numeri: $12 : 4 = 3$
3. Lettera x: $x^{4-2} = x^2$
4. Lettera y: $y^{3-1} = y^2$
5. Lettera z: $z^{2-2} = z^0 = 1$ (la z scompare)
Risultato: $-3x^2y^2$

7. Somma e Sottrazione di Polinomi

Qui il passaggio fondamentale è l'apertura delle parentesi. Attenzione al segno meno!

Esempio 1: Somma

Espressione: $(2x+1) + (2x-1)$
Passaggio 1 (Tolgo le parentesi): $2x + 1 + 2x - 1$
Passaggio 2 (Raggruppo x): $(2+2)x$
Passaggio 3 (Raggruppo numeri): $(+1 - 1)$
Passaggio 4 (Calcolo): $4x + 0$
Risultato: $4x$

Esempio 2: Sottrazione (Il pericolo!)

Espressione: $(2x+1) - (2x-1)$
Nota: Il meno davanti alla parentesi cambia TUTTI i segni dentro!
Passaggio 1 (Apro le parentesi): $2x + 1 - 2x + 1$
Passaggio 2 (Raggruppo x): $(2-2)x \rightarrow 0x$ (sparisce)
Passaggio 3 (Raggruppo numeri): $1 + 1 = 2$
Risultato: $2$

8. Prodotto di Polinomi

Ogni termine della prima parentesi deve moltiplicare ogni termine della seconda.

Esempio Sviluppato:

Espressione: $(2x+1) \cdot (2x-2)$

Eseguo le 4 moltiplicazioni:
1. $(2x) \cdot (2x) = 4x^2$
2. $(2x) \cdot (-2) = -4x$
3. $(+1) \cdot (2x) = +2x$
4. $(+1) \cdot (-2) = -2$

Metto tutto insieme: $4x^2 - 4x + 2x - 2$
Sommo i termini simili ($-4x+2x$): $4x^2 - 2x - 2$
Risultato Finale: $4x^2 - 2x - 2$