Guida alle Frazioni

Che cos'è una frazione?

Una frazione rappresenta una parte di un intero. È composta da due numeri, separati da una linea orizzontale:

$\dfrac{\text{Numeratore}}{\text{Denominatore}}$

Il numeratore (il numero sopra) indica quante parti consideriamo.
Il denominatore (il numero sotto) indica in quante parti uguali è stato diviso l'intero.

Per esempio, la frazione $\dfrac{3}{4}$ significa che l'intero è stato diviso in 4 parti uguali e noi ne stiamo considerando 3. Immagina una torta divisa in 4 fette uguali. Se ne mangiamo 3, abbiamo mangiato i $\dfrac{3}{4}$ della torta.

Il Significato della Frazione

Oltre a rappresentare parti di un intero, le frazioni hanno un significato più profondo, specialmente quando usate per descrivere relazioni tra quantità.

Caso 1: Numeratore e Denominatore omogenei

In questo caso, numeratore e denominatore rappresentano lo stesso tipo di unità (es. mele con mele, metri con metri). La frazione può avere due significati a seconda del contesto:

Calcolo del numero di raggruppamenti possibili: Se dividi una quantità totale per la dimensione di ogni gruppo.
- Esempio 1: Hai 15 mele e vuoi fare sacchetti da 5 mele. La frazione $\dfrac{15 \text{ mele}}{5 \text{ mele/sacchetto}} = 3$ sacchetti.
- Esempio 2: Vuoi fare cesti da 4 arance con 24 arance totali. La frazione $\dfrac{24 \text{ arance}}{4 \text{ arance/cesto}} = 6$ cesti.
Calcolo degli elementi presenti in ogni gruppo: Se dividi una quantità totale in un numero di gruppi specificato.
- Esempio 3: Hai 10 matite e le dividi in 2 gruppi. La frazione $\dfrac{10 \text{ matite}}{2 \text{ gruppi}} = 5$ matite per gruppo.
- Esempio 4: 27 studenti sono divisi in 3 squadre per un gioco. La frazione $\dfrac{27 \text{ studenti}}{3 \text{ squadre}} = 9$ studenti per squadra.
- Esempio 5: Un percorso di 100 metri viene suddiviso in 10 sezioni uguali. La frazione $\dfrac{100 \text{ m}}{10 \text{ sezioni}} = 10$ m per sezione.

Caso 2: Numeratore e Denominatore eterogenei

Qui numeratore e denominatore rappresentano unità diverse (es. chilometri e ore, euro e chilogrammi). La frazione calcola una quantità per unità, una "rata" o un rapporto.

Esempio 1: Se un'auto percorre 120 km in 2 ore, la frazione $\dfrac{120 \text{ km}}{2 \text{ ore}} = 60 \text{ km/ora}$. Significa che l'auto percorre 60 km per ogni ora.
Esempio 2: Per comprare 3 kg di mele paghi 6 euro. La frazione $\dfrac{6 \text{ euro}}{3 \text{ kg}} = 2 \text{ euro/kg}$. Significa che ogni chilogrammo di mele costa 2 euro.
Esempio 3: Un rubinetto perde 10 litri d'acqua in 5 minuti. La frazione $\dfrac{10 \text{ L}}{5 \text{ min}} = 2 \text{ L/min}$. Significa che ogni minuto si perdono 2 litri.
Esempio 4: Per creare una pittura, misceli 200 ml di colore in 4 litri di acqua. La frazione $\dfrac{200 \text{ ml}}{4 \text{ L}}$ non è utile senza una conversione. Riscrivendola come $\dfrac{0.2 \text{ L}}{4 \text{ L}}$ o $\dfrac{200 \text{ ml}}{4000 \text{ ml}}$, il risultato è $0.05$ o $\dfrac{1}{20}$, che non ha senso. Vediamo il caso eterogeneo: $\dfrac{200 \text{ ml}}{4 \text{ L}} = 50 \text{ ml/L}$. Ogni litro di acqua contiene 50 ml di colore.
Esempio 5: Un'azienda produce 500 pezzi con 10 macchine. La frazione $\dfrac{500 \text{ pezzi}}{10 \text{ macchine}} = 50 \text{ pezzi/macchina}$. Significa che ogni macchina produce 50 pezzi.

Tipi di frazioni

Frazione propria: il numeratore è minore del denominatore. Rappresenta una quantità minore di 1.
- Esempi: $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{5}$, $\dfrac{7}{10}$.
Frazione impropria: il numeratore è maggiore del denominatore. Rappresenta una quantità maggiore di 1. Può essere scritta come un numero misto.
- Esempi: $\dfrac{7}{3}$ (che è uguale a $2$ interi e $\dfrac{1}{3}$), $\dfrac{5}{4}$, $\dfrac{11}{6}$.
Frazione apparente: il numeratore è un multiplo del denominatore. Rappresenta un numero intero.
- Esempi: $\dfrac{6}{2}$ (che è uguale a 3), $\dfrac{10}{5}$ (uguale a 2), $\dfrac{8}{4}$ (uguale a 2).

Frazioni equivalenti

Due frazioni sono equivalenti se rappresentano la stessa quantità, anche se hanno numeratori e denominatori diversi. Per trovare una frazione equivalente, basta moltiplicare o dividere sia il numeratore che il denominatore per lo stesso numero diverso da zero. Questa proprietà si chiama proprietà invariantiva delle frazioni.

Esempio 1: Moltiplicazione. Per trovare una frazione equivalente a $\dfrac{1}{2}$, moltiplichiamo numeratore e denominatore per 3.
$\dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$
Esempio 2: Divisione. Per trovare una frazione equivalente a $\dfrac{10}{15}$, dividiamo numeratore e denominatore per 5.
$\dfrac{10 \div 5}{15 \div 5} = \dfrac{2}{3}$
Esempio 3: Verificare l'equivalenza. Per sapere se $\dfrac{2}{3}$ e $\dfrac{6}{9}$ sono equivalenti, si moltiplica "in croce".
$2 \times 9 = 18$
$3 \times 6 = 18$
Poiché i risultati sono uguali, le frazioni sono equivalenti.

Semplificazione delle frazioni

Semplificare una frazione significa renderla "irriducibile", ovvero non ulteriormente semplificabile. Per farlo, dividiamo il numeratore e il denominatore per il loro Massimo Comune Divisore (M.C.D.). Oppure si può fare una serie di divisioni per numeri primi fino a quando la frazione non può più essere ridotta.

Esempio 1: Semplificare $\dfrac{12}{18}$. Il M.C.D. tra 12 e 18 è 6.
$\dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{2}{3}$
Esempio 2: Semplificare $\dfrac{30}{45}$. Il M.C.D. è 15, ma se non lo vedi subito puoi dividere più volte.
Dividi per 5: $\dfrac{30 \div 5}{45 \div 5} = \dfrac{6}{9}$
Dividi per 3: $\dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{2}{3}$

Addizione e Sottrazione

Caso 1: Stesso denominatore. Se le frazioni hanno lo stesso denominatore, basta sommare o sottrarre i numeratori e mantenere il denominatore comune.

Esempio 1: $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2+1}{5} = \dfrac{3}{5}$
Esempio 2: $\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{7-3}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ (semplificata)

Caso 2: Denominatore diverso. Se le frazioni hanno denominatori diversi, bisogna prima trovare un denominatore comune, di solito il Minimo Comune Multiplo (m.c.m.) tra i denominatori.

Esempio 1: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$. Il m.c.m. tra 2 e 3 è 6.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$, $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$
$\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$
Esempio 2: $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}$. Il m.c.m. tra 6 e 4 è 12.
$\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$, $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$
$\dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$
Esempio 3: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8}$. Il m.c.m. tra 4, 2 e 8 è 8.
$\dfrac{2}{8} + \dfrac{4}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{2+4-1}{8} = \dfrac{5}{8}$

Moltiplicazione

Per moltiplicare due frazioni, basta moltiplicare i numeratori tra loro e i denominatori tra loro. È consigliabile semplificare "in croce" prima di moltiplicare per rendere i calcoli più semplici.

Esempio 1: $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 5} = \dfrac{8}{15}$
Esempio 2: $\dfrac{9}{10} \times \dfrac{5}{6}$. Semplifica in croce.
$\dfrac{\cancel{9}^3}{ \cancel{10}_2 } \times \dfrac{\cancel{5}^1}{ \cancel{6}_2 } = \dfrac{3 \times 1}{2 \times 2} = \dfrac{3}{4}$

Divisione

Per dividere due frazioni, si moltiplica la prima frazione per il reciproco della seconda. Il reciproco di una frazione si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore.

Esempio 1: $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$
Esempio 2: $\dfrac{8}{9} \div \dfrac{4}{3}$. Moltiplica per il reciproco.
$\dfrac{8}{9} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{\cancel{8}^2}{ \cancel{9}_3 } \times \dfrac{\cancel{3}^1}{ \cancel{4}_1 } = \dfrac{2 \times 1}{3 \times 1} = \dfrac{2}{3}$

Esempi Guidati

Vediamo insieme come risolvere alcuni problemi passo dopo passo.

Esempio 1: Addizione con denominatori diversi

Calcola: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$

Passo 1: Trova il m.c.m. tra 4 e 3, che è 12.

Passo 2: Riscrivi le frazioni con il nuovo denominatore.

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$

Passo 3: Esegui l'addizione.

$\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{11}{12}$

Soluzione: La risposta è $\dfrac{11}{12}$.

Esempio 2: Sottrazione

Calcola: $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}$

Passo 1: Trova il m.c.m. tra 6 e 3, che è 6.

Passo 2: La prima frazione resta uguale. Riscrivi la seconda.

$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}$

Passo 3: Esegui la sottrazione.

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6}$

Passo 4: Semplifica il risultato. Il M.C.D. tra 3 e 6 è 3.

$\dfrac{3 \div 3}{6 \div 3} = \dfrac{1}{2}$

Soluzione: La risposta è $\dfrac{1}{2}$.

Esempio 3: Moltiplicazione con semplificazione

Calcola: $\dfrac{8}{15} \times \dfrac{5}{4}$

Passo 1: Semplifica "in croce". L'8 e il 4 si dividono per 4 (rimangono 2 e 1). Il 5 e il 15 si dividono per 5 (rimangono 1 e 3).

$\dfrac{\cancel{8}^2}{ \cancel{15}_3 } \times \dfrac{\cancel{5}^1}{ \cancel{4}_1 }$

Passo 2: Esegui la moltiplicazione con i nuovi numeri.

$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{1} = \dfrac{2 \times 1}{3 \times 1} = \dfrac{2}{3}$

Soluzione: La risposta è $\dfrac{2}{3}$.

Esempio 4: Divisione

Calcola: $\dfrac{9}{10} \div \dfrac{3}{5}$

Passo 1: Moltiplica la prima frazione per il reciproco della seconda.

$\dfrac{9}{10} \times \dfrac{5}{3}$

Passo 2: Semplifica "in croce". Il 9 e il 3 si dividono per 3 (rimangono 3 e 1). Il 5 e il 10 si dividono per 5 (rimangono 1 e 2).

$\dfrac{\cancel{9}^3}{ \cancel{10}_2 } \times \dfrac{\cancel{5}^1}{ \cancel{3}_1 }$

Passo 3: Esegui la moltiplicazione.

$\dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{1} = \dfrac{3}{2}$

Soluzione: La risposta è $\dfrac{3}{2}$.

Esempio 5: Operazione mista

Calcola: $(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}) \times \dfrac{8}{3}$

Passo 1: Risolvi l'operazione tra parentesi. Trova il m.c.m. tra 2 e 4, che è 4.

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

Passo 2: Sostituisci il risultato nella formula originale e moltiplica.

$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{3}$

Passo 3: Semplifica "in croce". I 3 si semplificano. L'8 e il 4 si dividono per 4 (rimangono 2 e 1).

$\dfrac{\cancel{3}^1}{ \cancel{4}_1 } \times \dfrac{\cancel{8}^2}{ \cancel{3}_1 }$

Passo 4: Esegui la moltiplicazione.

$\dfrac{1}{1} \times \dfrac{2}{1} = 2$

Soluzione: La risposta è 2.

Esercizi Proposti

Prova a risolvere questi esercizi da solo. La soluzione è nascosta, clicca per vederla!

Esercizio 1: $\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7}$

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Soluzione: $\dfrac{2+3}{7} = \dfrac{5}{7}$
Esercizio 2: $\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{4}$

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Soluzione: m.c.m. tra 8 e 4 è 8. $\dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}$
Esercizio 3: $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{10}{9}$

Mostra soluzione

Soluzione: Semplificando in croce: $\dfrac{\cancel{3}^1}{\cancel{5}_1} \times \dfrac{\cancel{10}^2}{\cancel{9}_3} = \dfrac{2}{3}$
Esercizio 4: $\dfrac{4}{7} \div \dfrac{2}{14}$

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Soluzione: Moltiplica per il reciproco: $\dfrac{4}{7} \times \dfrac{14}{2}$. Semplifica in croce: $\dfrac{\cancel{4}^2}{\cancel{7}_1} \times \dfrac{\cancel{14}^2}{\cancel{2}_1} = \dfrac{4}{1} = 4$
Esercizio 5: Semplifica $\dfrac{24}{36}$

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Soluzione: Il M.C.D. tra 24 e 36 è 12. $\dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{2}{3}$
Esercizio 6: $(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}) \times \dfrac{4}{5}$

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Soluzione: $\dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Poi $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{5}$