Divisione tra Numeri Interi
La divisione è l'operazione che ti permette di distribuire una quantità in parti uguali. La relazione tra i suoi elementi è la seguente:
Dividendo = Divisore $\cdot$ Quoziente + Resto
Esempi
Esempio 1: $17 : 5$
- Dividendo: 17
- Divisore: 5
- Quoziente: 3
- Resto: 2
Verifica: $17 = 5 \cdot 3 + 2$.
Esempio 2: $25 : 4$
- Dividendo: 25
- Divisore: 4
- Quoziente: 6
- Resto: 1
Verifica: $25 = 4 \cdot 6 + 1$.
Esempio 3: $40 : 8$
- Dividendo: 40
- Divisore: 8
- Quoziente: 5
- Resto: 0
Verifica: $40 = 8 \cdot 5 + 0$.
Esempio 4: $100 : 7$
- Dividendo: 100
- Divisore: 7
- Quoziente: 14
- Resto: 2
Verifica: $100 = 7 \cdot 14 + 2$.
Esempio 5: $9 : 10$
- Dividendo: 9
- Divisore: 10
- Quoziente: 0
- Resto: 9
Verifica: $9 = 10 \cdot 0 + 9$.
Esempio 6: $53 : 6$
- Dividendo: 53
- Divisore: 6
- Quoziente: 8
- Resto: 5
Verifica: $53 = 6 \cdot 8 + 5$.
Scomposizione in Fattori Primi
La scomposizione in fattori primi è il processo di scrivere un numero come un prodotto di numeri primi. Un numero primo è un numero intero che può essere diviso solo per 1 e per sé stesso (es. 2, 3, 5, 7, 11...).
Esempi
Esempio 1: Scomporre 60
$60 : 2 = 30$
$30 : 2 = 15$
$15 : 3 = 5$
$5 : 5 = 1$
Risultato: $2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
Esempio 2: Scomporre 100
$100 : 2 = 50$
$50 : 2 = 25$
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
Risultato: $2^2 \cdot 5^2$.
Esempio 3: Scomporre 48
$48 : 2 = 24$
$24 : 2 = 12$
$12 : 2 = 6$
$6 : 2 = 3$
$3 : 3 = 1$
Risultato: $2^4 \cdot 3$.
Esempio 4: Scomporre 72
$72 : 2 = 36$
$36 : 2 = 18$
$18 : 2 = 9$
$9 : 3 = 3$
$3 : 3 = 1$
Risultato: $2^3 \cdot 3^2$.
Esempio 5: Scomporre 125
$125 : 5 = 25$
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
Risultato: $5^3$.
Esempio 6: Scomporre 91
$91 : 7 = 13$
$13 : 13 = 1$
Risultato: $7 \cdot 13$.
Divisori e Multipli
Divisori
I divisori di un numero sono tutti i numeri che lo dividono in modo esatto (con resto 0). Partendo dalla scomposizione in fattori primi, i divisori sono dati da tutti i fattori della scomposizione, o dalla loro moltiplicazione.
Esempi
Esempio 1: Divisori di 12
Scomposizione: $2^2 \cdot 3$. Divisori: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Esempio 2: Divisori di 20
Scomposizione: $2^2 \cdot 5$. Divisori: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Esempio 3: Divisori di 30
Scomposizione: $2 \cdot 3 \cdot 5$. Divisori: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Esempio 4: Divisori di 45
Scomposizione: $3^2 \cdot 5$. Divisori: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Esempio 5: Divisori di 16
Scomposizione: $2^4$. Divisori: 1, 2, 4, 8, 16.
Esempio 6: Divisori di 28
Scomposizione: $2^2 \cdot 7$. Divisori: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
Multipli
I multipli di un numero sono tutti i numeri che contengono quel numero nella loro scomposizione in fattori primi. Si ottengono moltiplicando quel numero per un qualsiasi numero intero.
In questi esempi, osserva come la scomposizione del numero originale (verde) sia contenuta nella scomposizione del suo multiplo.
Multipli di 6
Scomposizione di 6: $2 \cdot 3$.
Multiplo 30: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
Multiplo 42: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
Multipli di 10
Scomposizione di 10: $2 \cdot 5$.
Multiplo 50: $50 = 2 \cdot 5 \cdot 5$
Multiplo 80: $80 = 2 \cdot 5 \cdot 2^3$
Multipli di 15
Scomposizione di 15: $3 \cdot 5$.
Multiplo 45: $45 = 3 \cdot 5 \cdot 3$
M.C.D. e m.c.m.
Massimo Comune Divisore (M.C.D.)
È il numero più grande che divide in modo esatto due o più numeri. Si calcola prendendo solo i fattori primi comuni, ciascuno con il suo esponente più piccolo.
Negli esempi seguenti, osserva come il M.C.D. (blu) sia composto dai fattori comuni, evidenziati all'interno della scomposizione di ciascun numero.
Esempio 1: M.C.D.(12, 18)
Scomposizioni: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$.
Fattori comuni: $2$ e $3$. Esponenti più piccoli: $2^1$ e $3^1$.
M.C.D. $= 2 \cdot 3 = 6$.
Esempio 2: M.C.D.(24, 36)
Scomposizioni: $24 = 2 \cdot 2^2 \cdot 3$, $36 = 2^2 \cdot 3 \cdot 3$.
Fattori comuni: $2$ e $3$. Esponenti più piccoli: $2^2$ e $3^1$.
M.C.D. $= 2^2 \cdot 3 = 12$.
Esempio 3: M.C.D.(45, 75)
Scomposizioni: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$, $75 = 5 \cdot 3 \cdot 5$.
Fattori comuni: $3$ e $5$. Esponenti più piccoli: $3^1$ e $5^1$.
M.C.D. $= 3 \cdot 5 = 15$.
Esempio 4: M.C.D.(60, 90, 150)
Scomposizioni: $60 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2$, $90 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 3$, $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$.
Fattori comuni: $2$, $3$ e $5$. Esponenti più piccoli: $2^1$, $3^1$ e $5^1$.
M.C.D. $= 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Esempio 5: M.C.D.(8, 16)
Scomposizioni: $8 = 2^3$, $16 = 2^3 \cdot 2$.
Fattore comune: $2$. Esponente più piccolo: $2^3$.
M.C.D. $= 2^3 = 8$.
Minimo Comune Multiplo (m.c.m.)
È il più piccolo numero che è multiplo di due o più numeri. Si calcola prendendo tutti i fattori primi (comuni e non comuni), ciascuno con il suo esponente più grande.
Negli esempi seguenti, osserva come il m.c.m. sia composto dai fattori di ciascun numero, evidenziati con colori diversi.
Esempio 1: m.c.m.(12, 18)
Scomposizione di $12 = 2^2 \cdot 3$.
Scomposizione di $18 = 2 \cdot 3^2$.
m.c.m. $= 2^2 \cdot 3^2 = 36$.
Esempio 2: m.c.m.(24, 36)
Scomposizione di $24 = 2^3 \cdot 3$.
Scomposizione di $36 = 2^2 \cdot 3^2$.
m.c.m. $= 2^3 \cdot 3^2 = 72$.
Esempio 3: m.c.m.(10, 15)
Scomposizione di $10 = 2 \cdot 5$.
Scomposizione di $15 = 3 \cdot 5$.
m.c.m. $= 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Esempio 4: m.c.m.(6, 8, 10)
Scomposizione di $6 = 2 \cdot 3$.
Scomposizione di $8 = 2^3$.
Scomposizione di $10 = 2 \cdot 5$.
m.c.m. $= 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.
Esempio 5: m.c.m.(15, 20, 25)
Scomposizione di $15 = 3 \cdot 5$.
Scomposizione di $20 = 2^2 \cdot 5$.
Scomposizione di $25 = 5^2$.
m.c.m. $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300$.