Cosa sono i numeri relativi?
I numeri relativi (o numeri interi) sono l'insieme dei numeri interi positivi, negativi e lo zero. Vengono usati per rappresentare grandezze che hanno una direzione, come temperature sotto lo zero, debiti o dislivelli.
L'insieme dei numeri relativi si indica con il simbolo $\mathbb{Z}$.
La retta numerica
I numeri relativi possono essere rappresentati su una retta orientata. Lo zero è il punto di origine, i numeri positivi si trovano a destra e i numeri negativi a sinistra.
Le Operazioni
Addizione e Sottrazione
L'addizione e la sottrazione seguono regole precise in base al segno dei numeri:
- Numeri con lo stesso segno: somma i loro valori assoluti e mantieni il segno.
- Esempio: $(+3) + (+5) = +8$
- Esempio: $(-3) + (-5) = -8$
- Esempio: $(-12) - (+4) = (-12) + (-4) = -16$
- Numeri con segni diversi: sottrai il valore assoluto minore dal maggiore e dai al risultato il segno del numero con valore assoluto maggiore.
- Esempio: $(-3) + (+5) = +2$
- Esempio: $(+3) + (-5) = -2$
- Esempio: $(+10) - (-2) = (+10) + (+2) = +12$
- Esempio: $(-1) - (+7) = (-1) + (-7) = -8$
Moltiplicazione e Divisione
Il risultato ha un segno che dipende dalla regola dei segni.
La stessa regola si applica anche alla divisione.
- Esempio: $(+4) \cdot (+5) = +20$
- Esempio: $(-4) \cdot (+5) = -20$
- Esempio: $(-10) \div (-2) = +5$
- Esempio: $(+18) \div (-6) = -3$
Il gioco delle carte e i numeri relativi
Per capire meglio addizione e sottrazione, immaginiamo di avere un conto in banca (o una pila di fiches) mentre giochiamo a carte. I numeri positivi sono le tue vincite, i numeri negativi sono le tue perdite.
Caso 1: Vincere.
Se hai 20€ e ne vinci 10€, la tua pila di fiches aumenta. La tua operazione è: $(+20) + (+10) = +30$.
Se hai 20€ e ne vinci 5€, la tua operazione è: $(+20) + (+5) = +25$.
Caso 2: Perdere.
Se hai 30€ e ne perdi 25€, la tua pila diminuisce. La tua operazione è: $(+30) + (-25) = +5$. Adesso hai 5€.
Caso 3: Andare in debito.
Se hai 5€ e ne perdi 15€, non puoi coprire tutta la perdita. Finisci in debito! La tua operazione è: $(+5) + (-15) = -10$. Adesso hai un debito di 10€, che si rappresenta con il segno meno (-).
Caso 4: Aumentare il debito.
Se hai un debito di 10€ e ne perdi altri 20€, il tuo debito aumenta ancora. La tua operazione è: $(-10) + (-20) = -30$. Il risultato è un debito di 30€.
Ricorda: quando togli più di quello che hai, vai in debito. Quando sei già in debito e perdi ancora, il debito aumenta!
Potenze di Numeri Relativi
- Base positiva: il risultato è sempre positivo. Esempio: $(+3)^2 = (+3) \cdot (+3) = +9$
- Base negativa ed esponente pari: il risultato è positivo. Esempio: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = +16$
- Base negativa ed esponente dispari: il risultato è negativo. Esempio: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
Espressioni Aritmetiche
Per risolvere un'espressione, segui l'ordine delle operazioni:
- Operazioni tra parentesi (tonde, quadre, graffe)
- Potenze
- Moltiplicazioni e divisioni (da sinistra a destra)
- Addizioni e sottrazioni (da sinistra a destra)
Esempio: $(-5) + (+2) \cdot (-3)$
- Esegui la moltiplicazione: $(+2) \cdot (-3) = -6$
- L'espressione diventa: $(-5) + (-6)$
- Esegui l'addizione: $-11$