Guida alle Potenze

Cosa sono le potenze?

Una potenza è un modo per scrivere una moltiplicazione ripetuta di uno stesso numero. È composta da due parti: la base, che è il numero che si moltiplica, e l'esponente, che indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa.

Base$^{\text{Esponente}} \quad \rightarrow \quad 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$

Prodotto di potenze con la stessa base

Per moltiplicare due potenze con la stessa base, si mantiene la base e si sommano gli esponenti.

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Esempi:

$2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
$4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3} = 4^5 = 1024$
$(-3)^2 \cdot (-3)^1 = (-3)^{2+1} = (-3)^3 = -27$

Quoziente di potenze con la stessa base

Per dividere due potenze con la stessa base, si mantiene la base e si sottraggono gli esponenti.

$a^m \div a^n = a^{m-n}$

Esempi:

$5^4 \div 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25$
$(-2)^5 \div (-2)^2 = (-2)^{5-2} = (-2)^3 = -8$
$10^6 \div 10^4 = 10^{6-4} = 10^2 = 100$

Potenza di una potenza

Per calcolare la potenza di una potenza, si mantiene la base e si moltiplicano gli esponenti.

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Esempi:

$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729$
$( ( -5 )^2 )^2 = ( -5 )^{2 \cdot 2} = ( -5 )^4 = 625$

Potenze con esponente negativo

Una potenza con esponente negativo è uguale al reciproco della base elevata allo stesso esponente, ma positivo.

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

Esempi:

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$
$5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$
$(-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2} = \dfrac{1}{9}$

Esempi Guidati

Vediamo insieme come risolvere alcuni problemi passo dopo passo.

Esempio 1: $(4^2)^3 \div 4^5$

Passo 1: Applica la regola della potenza di una potenza per il primo termine. Mantieni la base e moltiplica gli esponenti.

$(4^2)^3 = 4^{2 \cdot 3} = 4^6$

Passo 2: Adesso l'espressione diventa un quoziente di potenze con la stessa base. Mantieni la base e sottrai gli esponenti.

$4^6 \div 4^5 = 4^{6-5} = 4^1 = 4$

Soluzione: La risposta è $4$.

Esempio 2: $3^2 \cdot 3^{-1}$

Passo 1: Applica la regola del prodotto di potenze con la stessa base. Mantieni la base e somma gli esponenti.

$3^2 \cdot 3^{-1} = 3^{2 + (-1)} = 3^{2-1} = 3^1$

Passo 2: Calcola il risultato finale.

$3^1 = 3$

Soluzione: La risposta è $3$.

Esempio 3: $\dfrac{ ( -2 )^3 \cdot ( -2 )^4 }{ ( -2 )^5 }$

Passo 1: Risolvi la moltiplicazione al numeratore applicando la regola del prodotto di potenze.

$( -2 )^3 \cdot ( -2 )^4 = ( -2 )^{3+4} = ( -2 )^7$

Passo 2: Adesso l'espressione è un quoziente di potenze. Sottrai gli esponenti.

$\dfrac{ ( -2 )^7 }{ ( -2 )^5 } = ( -2 )^{7-5} = ( -2 )^2$

Passo 3: Calcola il risultato finale.

$( -2 )^2 = 4$

Soluzione: La risposta è $4$.

Esempio 4: $6^2 \div 6^{-1}$

Passo 1: Applica la regola del quoziente di potenze con esponenti negativi. Sottrai gli esponenti.

$6^2 \div 6^{-1} = 6^{2 - (-1)} = 6^{2+1} = 6^3$

Passo 2: Calcola il risultato finale.

$6^3 = 216$

Soluzione: La risposta è $216$.

Esempio 5: $5^3 \cdot 5^{-4} \div 5^{-2}$

Passo 1: Inizia con la moltiplicazione. Somma gli esponenti.

$5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+(-4)} = 5^{3-4} = 5^{-1}$

Passo 2: Ora esegui la divisione. Sottrai gli esponenti.

$5^{-1} \div 5^{-2} = 5^{-1-(-2)} = 5^{-1+2} = 5^1$

Passo 3: Calcola il risultato finale.

$5^1 = 5$

Soluzione: La risposta è $5$.

Esempio 6: $(-3)^4 \div (-3)^2 \cdot (-3)^1$

Passo 1: Risolvi prima la divisione. Sottrai gli esponenti.

$(-3)^4 \div (-3)^2 = (-3)^{4-2} = (-3)^2$

Passo 2: Adesso moltiplica il risultato per l'ultimo termine. Somma gli esponenti.

$(-3)^2 \cdot (-3)^1 = (-3)^{2+1} = (-3)^3$

Passo 3: Calcola il risultato finale.

$(-3)^3 = -27$

Soluzione: La risposta è $-27$.

Esempio 7: $( ( 2^{-1} )^2 )^{-3}$

Passo 1: Risolvi prima la potenza di una potenza interna. Moltiplica gli esponenti.

$( 2^{-1} )^2 = 2^{-1 \cdot 2} = 2^{-2}$

Passo 2: Ora risolvi la potenza di una potenza esterna. Moltiplica gli esponenti.

$( 2^{-2} )^{-3} = 2^{-2 \cdot (-3)} = 2^6$

Passo 3: Calcola il risultato finale.

$2^6 = 64$

Soluzione: La risposta è $64$.

Esempio 8: $\dfrac{ ( -5 )^2 \cdot ( -5 )^3 }{ ( -5 )^4 }$

Passo 1: Risolvi la moltiplicazione al numeratore. Somma gli esponenti.

$( -5 )^2 \cdot ( -5 )^3 = ( -5 )^{2+3} = ( -5 )^5$

Passo 2: Adesso esegui la divisione. Sottrai gli esponenti.

$\dfrac{ ( -5 )^5 }{ ( -5 )^4 } = ( -5 )^{5-4} = ( -5 )^1$

Passo 3: Calcola il risultato finale.

$( -5 )^1 = -5$

Soluzione: La risposta è $-5$.

Esempio 9: $\dfrac{10^2 \cdot (10^3)^2}{10^8}$

Passo 1: Risolvi la potenza di una potenza al numeratore.

$(10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6$

Passo 2: Risolvi la moltiplicazione al numeratore. Somma gli esponenti.

$10^2 \cdot 10^6 = 10^{2+6} = 10^8$

Passo 3: Esegui la divisione. Sottrai gli esponenti.

$\dfrac{10^8}{10^8} = 10^{8-8} = 10^0 = 1$

Soluzione: La risposta è $1$.

Esempio 10: $(4^2 \cdot 4^{-3})^2$

Passo 1: Risolvi la moltiplicazione tra parentesi. Somma gli esponenti.

$4^2 \cdot 4^{-3} = 4^{2+(-3)} = 4^{2-3} = 4^{-1}$

Passo 2: Ora risolvi la potenza di una potenza. Moltiplica gli esponenti.

$(4^{-1})^2 = 4^{-1 \cdot 2} = 4^{-2}$

Passo 3: Calcola il risultato finale.

$4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}$

Soluzione: La risposta è $\dfrac{1}{16}$.

Esercizi Proposti

Prova a risolvere questi esercizi da solo. La soluzione è nascosta, clicca per vederla!

Esercizio 1: $2^4 \cdot 2^3$

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Soluzione: $2^4 \cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 = 128$
Esercizio 2: $10^5 \div 10^2$

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Soluzione: $10^5 \div 10^2 = 10^{5-2} = 10^3 = 1000$
Esercizio 3: $(5^2)^3$

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Soluzione: $(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625$
Esercizio 4: $4^{-2}$

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Soluzione: $4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}$
Esercizio 5: $(-5)^3 \cdot (-5)^{-2}$

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Soluzione: $(-5)^3 \cdot (-5)^{-2} = (-5)^{3+(-2)} = (-5)^1 = -5$
Esercizio 6: $( -4^3 )^{-1}$

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Soluzione: $( -4^3 )^{-1} = \dfrac{1}{ ( -4 )^3 } = \dfrac{1}{-64}$
Esercizio 7: $7^5 \div 7^3 \cdot 7^2$

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Soluzione: $7^5 \div 7^3 \cdot 7^2 = 7^{5-3} \cdot 7^2 = 7^2 \cdot 7^2 = 7^{2+2} = 7^4 = 2401$
Esercizio 8: $9^2 \cdot (9^4 \div 9^3)$

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Soluzione: $9^2 \cdot (9^4 \div 9^3) = 9^2 \cdot 9^{4-3} = 9^2 \cdot 9^1 = 9^{2+1} = 9^3 = 729$
Esercizio 9: $( ( 2^2 )^3 )^0$

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Soluzione: $( ( 2^2 )^3 )^0 = ( 2^{2 \cdot 3} )^0 = ( 2^6 )^0 = 2^{6 \cdot 0} = 2^0 = 1$
Esercizio 10: $\dfrac{3^4 \cdot 3^3}{3^5}$

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Soluzione: $\dfrac{3^4 \cdot 3^3}{3^5} = \dfrac{3^{4+3}}{3^5} = \dfrac{3^7}{3^5} = 3^{7-5} = 3^2 = 9$
Esercizio 11: $8^{-1} \cdot 8^3$

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Soluzione: $8^{-1} \cdot 8^3 = 8^{-1+3} = 8^2 = 64$
Esercizio 12: $(10^2)^2 \div 10^3$

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Soluzione: $(10^2)^2 \div 10^3 = 10^{2 \cdot 2} \div 10^3 = 10^4 \div 10^3 = 10^{4-3} = 10^1 = 10$
Esercizio 13: $( -2 )^3 \cdot ( -2 )^2$

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Soluzione: $( -2 )^3 \cdot ( -2 )^2 = ( -2 )^{3+2} = ( -2 )^5 = -32$
Esercizio 14: $\dfrac{1}{3^{-2}}$

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Soluzione: $\dfrac{1}{3^{-2}} = (3^{-2})^{-1} = 3^{(-2)\cdot(-1)} = 3^2 = 9$
Esercizio 15: $(6^0)^{-2}$

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Soluzione: $(6^0)^{-2} = (1)^{-2} = 1$
Esercizio 16: $\dfrac{ ( 7^2 )^3 }{ 7^5 }$

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Soluzione: $\dfrac{ ( 7^2 )^3 }{ 7^5 } = \dfrac{ 7^{2 \cdot 3} }{ 7^5 } = \dfrac{ 7^6 }{ 7^5 } = 7^{6-5} = 7^1 = 7$
Esercizio 17: $4^5 \div 4^5$

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Soluzione: $4^5 \div 4^5 = 4^{5-5} = 4^0 = 1$
Esercizio 18: $ ( -10 )^{-2} $

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Soluzione: $ ( -10 )^{-2} = \dfrac{1}{ ( -10 )^2 } = \dfrac{1}{100}$
Esercizio 19: $2^{-3} \cdot (2^4)^2 \div 2^5$

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Soluzione: $2^{-3} \cdot (2^4)^2 \div 2^5 = 2^{-3} \cdot 2^{4 \cdot 2} \div 2^5 = 2^{-3} \cdot 2^8 \div 2^5 = 2^{-3+8} \div 2^5 = 2^5 \div 2^5 = 2^{5-5} = 2^0 = 1$
Esercizio 20: $\dfrac{ ( -3 )^{-2} }{ ( -3 )^2 \cdot ( -3 )^{-4} }$

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Soluzione: $\dfrac{ ( -3 )^{-2} }{ ( -3 )^2 \cdot ( -3 )^{-4} } = \dfrac{ ( -3 )^{-2} }{ ( -3 )^{2+(-4)} } = \dfrac{ ( -3 )^{-2} }{ ( -3 )^{-2} } = ( -3 )^{-2-(-2)} = ( -3 )^{-2+2} = ( -3 )^0 = 1$

Cosa sono le potenze?

Prodotto di potenze con la stessa base

Quoziente di potenze con la stessa base

Potenza di una potenza

Potenze con esponente negativo

Esempi Guidati

Esempio 1: $(4^2)^3 \div 4^5$

Esempio 2: $3^2 \cdot 3^{-1}$

Esempio 3: $\dfrac{ ( -2 )^3 \cdot ( -2 )^4 }{ ( -2 )^5 }$

Esempio 4: $6^2 \div 6^{-1}$

Esempio 5: $5^3 \cdot 5^{-4} \div 5^{-2}$

Esempio 6: $(-3)^4 \div (-3)^2 \cdot (-3)^1$

Esempio 7: $( ( 2^{-1} )^2 )^{-3}$

Esempio 8: $\dfrac{ ( -5 )^2 \cdot ( -5 )^3 }{ ( -5 )^4 }$

Esempio 9: $\dfrac{10^2 \cdot (10^3)^2}{10^8}$

Esempio 10: $(4^2 \cdot 4^{-3})^2$

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