Laboratorio di Recupero: I Logaritmi

Che cos'è un logaritmo?

Il logaritmo è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza. In parole semplici, risponde alla domanda:

"A quale esponente devo elevare la base per ottenere il numero desiderato?"

La scrittura $\log_a(b) = c$ si legge: "Logaritmo in base $a$ di $b$ uguale a $c$".

La condizione fondamentale è che essa equivale esattamente a dire:

$a^c = b$

Con le seguenti limitazioni: la base $a$ deve essere strettamente positiva e diversa da $1$ ($a > 0, a \neq 1$), mentre l'argomento $b$ deve essere sempre positivo ($b > 0$).

Esempio intuitivo

Quanto fa $\log_2(8)$?

Ci chiediamo: "2 elevato a che numero mi dà 8?". Poiché $2^3 = 8$, avremo che $\log_2(8) = 3$.

Casi particolari da ricordare a memoria

$\log_a(1) = 0$ (perché $a^0 = 1$)
$\log_a(a) = 1$ (perché $a^1 = a$)
$\log_a(a^k) = k$ (perché $a^k = a^k$)

Le tre proprietà fondamentali dei logaritmi

Queste regole ti permettono di semplificare le espressioni più complesse (supponendo argomenti positivi):

1. Logaritmo di un prodotto
Diventa una somma di logaritmi: $$\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$$

2. Logaritmo di un quoziente
Diventa una sottrazione di logaritmi: $$\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$$

3. Logaritmo di una potenza
L'esponente "scende" davanti a moltiplicare: $$\log_a(x^k) = k \cdot \log_a(x)$$

Nota sul cambio di base: Spesso si usa la calcolatrice, che calcola in base 10 (tasto $\log$) o in base $e$ (tasto $\ln$). La formula per calcolare un logaritmo con base qualsiasi $k$ è: $\log_a(b) = \dfrac{\log_k(b)}{\log_k(a)}$.

Risolviamo insieme passo dopo passo

Esercizio 1: Calcola il valore dell'espressione $\log_3(81) - \log_2(32)$

Passo 1: Risolviamo $\log_3(81)$. Ci chiediamo: "3 elevato a cosa fa 81?".
Proviamo: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$. Dunque $\log_3(81) = 4$.

Passo 2: Risolviamo $\log_2(32)$. Ci chiediamo: "2 elevato a cosa fa 32?".
Proviamo: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$. Dunque $\log_2(32) = 5$.

Passo 3: Sostituiamo i valori trovati nell'espressione originale: $4 - 5 = -1$.

Esercizio 2: Semplifica applicando le proprietà: $\log_5(25) + \log_5(5)$

Metodo A (Uso delle potenze):
$\log_5(25) = \log_5(5^2) = 2$.
$\log_5(5) = 1$.
Sommiamo: $2 + 1 = 3$.

Metodo B (Uso della proprietà del prodotto):
$\log_5(25) + \log_5(5) = \log_5(25 \cdot 5) = \log_5(125)$.
Poiché $5^3 = 125$, il risultato è $3$. Otteniamo lo stesso risultato!

Mettiti alla prova

Risolvi sul quaderno e poi confronta con i risultati corretti nascosti qui sotto:

Quanto vale $\log_2(16)$?
Mostra Soluzione
4 (perché $2^4=16$)
Quanto vale $\log_{10}(1000)$?
Mostra Soluzione
3 (perché $10^3=1000$)
Quanto vale $\log_3\left(\dfrac{1}{9}\right)$?
Mostra Soluzione
-2 (perché $3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$)
Semplifica: $\log_2(8) + \log_2(4)$
Mostra Soluzione
5 (oppure $\log_2(32) = 5$)

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