L'Espressione: $3x-9$
Prendiamo come esempio l'espressione di primo grado $3x-9$. Il nostro obiettivo è capire come il valore di questa espressione cambia al variare di $x$, e come questo si traduce graficamente.
Significato Semantico
1. Azzerante
L'**azzerante** è il valore di $x$ che rende l'espressione nulla, cioè uguale a zero. Per trovare l'azzerante, impostiamo l'espressione uguale a zero e risolviamo l'equazione:
$3x = 9$
$x = \displaystyle{\dfrac{9}{3}}$
$x = 3$
Quindi, $x=3$ è l'azzerante dell'espressione $3x-9$. Quando $x$ è $3$, l'espressione vale $0$.
2. Positivanti
I valori **positivanti** di $x$ sono quei valori della $x$ che, sostituiti nell'espressione, fanno risultare (svolgendo i calcoli) un numero positivo (maggiore di zero). Per trovarli, impostiamo la disequazione:
$3x > 9$
$x > \displaystyle{\dfrac{9}{3}}$
$x > 3$
Quindi, i positivanti sono i numeri maggiori di $3$. Questo significa che per ogni valore di $x$ maggiore di $3$, l'espressione $3x-9$ risulterà un numero positivo.
3. Negativanti
I valori **negativanti** di $x$ sono quei valori della $x$ che, sostituiti nell'espressione, fanno risultare (svolgendo i calcoli) un numero negativo (minore di zero). Per trovarli, impostiamo la disequazione:
$3x < 9$
$x < \displaystyle{\dfrac{9}{3}}$
$x < 3$
Quindi, i negativanti sono i numeri minori di $3$. Questo significa che per ogni valore di $x$ minore di $3$, l'espressione $3x-9$ risulterà un numero negativo.
Rappresentazione Grafica del Segno di $3x-9$
Visualizziamo il comportamento dell'espressione $3x-9$ sulla retta dei numeri reali:
La linea tratteggiata indica dove l'espressione è negativa. La linea continua indica dove l'espressione è positiva. Il pallino pieno sull'azzerante indica dove l'espressione è zero.
Esempi Aggiuntivi
Esploriamo altri esempi di espressioni di primo grado per comprendere il loro segno.
Espressione: $2x+5$
**Azzerante:**
$2x = -5$
$x = \displaystyle{\dfrac{-5}{2}}$
L'azzerante è $x = \displaystyle{-\dfrac{5}{2}}$.
**Positivanti:** $2x+5 > 0 \Rightarrow x > \displaystyle{-\dfrac{5}{2}}$
**Negativanti:** $2x+5 < 0 \Rightarrow x < \displaystyle{-\dfrac{5}{2}}$
Espressione: $-4x+8$
**Azzerante:**
$-4x = -8$
$x = \displaystyle{\dfrac{-8}{-4}}$
$x = 2$
L'azzerante è $x = 2$.
**Positivanti:** $-4x+8 > 0 \Rightarrow -4x > -8 \Rightarrow x < 2$ (ricorda di invertire il verso!)
**Negativanti:** $-4x+8 < 0 \Rightarrow -4x < -8 \Rightarrow x > 2$ (ricorda di invertire il verso!)
Risoluzione di Disequazioni dal Grafico del Segno
Una volta che hai il grafico del segno di un'espressione, risolvere una disequazione è semplice: devi solo "leggere" il grafico in base al verso della disuguaglianza.
Esempio con $3x-9$:
Ricordiamo il grafico del segno di $3x-9$ (azzerante $x=3$):
1. Risolvere $3x-9 > 0$
Dobbiamo trovare i valori di $x$ per cui l'espressione è **positiva**. Questo significa individuare i **positivanti** nel grafico.
Guardando il grafico, la linea è continua (verde) a destra dell'azzerante $3$.
Soluzione: $x > 3$
2. Risolvere $3x-9 < 0$
Dobbiamo trovare i valori di $x$ per cui l'espressione è **negativa**. Questo significa individuare i **negativanti** nel grafico.
Guardando il grafico, la linea è tratteggiata (rossa) a sinistra dell'azzerante $3$.
Soluzione: $x < 3$
3. Risolvere $3x-9 \ge 0$
Dobbiamo trovare i valori di $x$ per cui l'espressione è **positiva o nulla**. Questo significa individuare i **positivanti** e l'**azzerante** nel grafico.
Guardando il grafico, la linea è continua (verde) a destra di $3$ e l'azzerante è $3$ (pallino pieno).
Soluzione: $x \ge 3$
4. Risolvere $3x-9 \le 0$
Dobbiamo trovare i valori di $x$ per cui l'espressione è **negativa o nulla**. Questo significa individuare i **negativanti** e l'**azzerante** nel grafico.
Guardando il grafico, la linea è tratteggiata (rossa) a sinistra di $3$ e l'azzerante è $3$ (pallino pieno).
Soluzione: $x \le 3$
Disequazioni Impossibili e Indeterminate
Esistono casi particolari di disequazioni di primo grado in cui l'incognita $x$ si semplifica, portando a un'affermazione che è sempre vera o sempre falsa. Queste sono le disequazioni indeterminate e impossibili, rispettivamente.
Disequazioni Indeterminate (Sempre Vere)
Una disequazione è **indeterminata** (o **sempre vera**) quando, dopo aver semplificato l'espressione, si ottiene un'affermazione sempre vera, indipendentemente dal valore di $x$. In questi casi, il coefficiente di $x$ è zero, e il termine noto rende l'affermazione vera.
**Esempio:** Risolvi $2x + 5 > 2x + 1$
$0x > -4$
$0x + 4 > 0$
L'espressione $0x+4$ è sempre positiva (vale $4$), quindi tutti i valori di $x$ sono **positivanti**. L'affermazione $0 > -4$ è **sempre vera**. Questo significa che la disequazione è soddisfatta per **ogni valore di $x$**.
Soluzione: $x \in \mathbb{R}$ (ogni $x$ reale)
Rappresentazione Grafica del Segno di $0x+4$:
La linea continua indica che l'espressione è sempre positiva.
Disequazioni Impossibili (Nessuna Soluzione)
Una disequazione è **impossibile** (o **senza soluzione**) quando, dopo aver semplificato l'espressione, si ottiene un'affermazione sempre falsa, indipendentemente dal valore di $x$. Anche in questi casi, il coefficiente di $x$ è zero, ma il termine noto rende l'affermazione falsa.
**Esempio:** Risolvi $3x - 7 < 3x - 10$
$0x < -3$
$0x + 3 < 0$
L'espressione $0x+3$ è sempre positiva (vale $3$), il che significa che tutti i valori di $x$ sono **positivanti**. Tuttavia, la disequazione chiede che l'espressione sia negativa (cioè che esistano dei **negativanti**). Poiché non esistono $x$ che rendano l'espressione negativa, l'affermazione $0 < -3$ è **sempre falsa**. Questo significa che non esiste **nessun valore di $x$** che soddisfi la disequazione.
Soluzione: Nessuna soluzione ($\emptyset$)
Rappresentazione Grafica del Segno di $0x+3$:
La linea continua indica che l'espressione è sempre positiva, ma la disequazione chiede che sia negativa.
Esercizi Proposti
Metti alla prova la tua comprensione con questi esercizi. Clicca su "Mostra Soluzione" per vedere i passaggi e il grafico del segno.