L'Insieme dei Numeri Irrazionali
I numeri razionali sono tutti quei numeri che possono essere scritti come una frazione di due numeri interi, ad esempio $1/2$, $-3/4$, o $5$. La loro rappresentazione decimale è finita o periodica ($0.5$, $0.75$, $0.333...$).
I numeri irrazionali, invece, sono numeri che non possono essere scritti come una frazione. La loro rappresentazione decimale è illimitata e non periodica.
Esempi celebri sono il numero $\pi \approx 3.14159...$ e la radice quadrata di 2, $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
Definizione di Radicale
Un radicale è una radice $n$-esima di un numero $a$, indicata come $\sqrt[n]{a}$. L'obiettivo è trovare il numero che, elevato all'indice $n$, dia come risultato il radicando $a$.
$\sqrt[n]{a} = b \quad \iff \quad b^n = a$
- $n$ è l'indice della radice. Se l'indice è 2, si tratta di una radice quadrata e di solito non viene scritto.
- $a$ è il radicando.
Condizioni di Esistenza:
Il radicando $a$ deve soddisfare precise condizioni, a seconda dell'indice $n$.
- Indice $n$ dispari: Il radicale esiste per qualsiasi valore di $a$.
- $\sqrt[3]{8} = 2$, perché $2^3 = 8$
- $\sqrt[3]{-8} = -2$, perché $(-2)^3 = -8$
- $\sqrt[5]{32} = 2$, perché $2^5 = 32$
- $\sqrt[7]{-128} = -2$, perché $(-2)^7 = -128$
- $\sqrt[3]{-1} = -1$, perché $(-1)^3 = -1$
- Indice $n$ pari: Il radicale esiste solo se il radicando $a$ è maggiore o uguale a zero ($a \ge 0$).
- $\sqrt{25} = 5$, perché $5^2 = 25$
- $\sqrt{0} = 0$, perché $0^2 = 0$
- $\sqrt[4]{16} = 2$, perché $2^4 = 16$
- $\sqrt{-9}$ non esiste nel campo dei numeri reali.
- $\sqrt[6]{64} = 2$, perché $2^6 = 64$
Le Proprietà dei Radicali
1. Proprietà Invariantiva:
Puoi moltiplicare o dividere l'indice $n$ e l'esponente $m$ del radicando per lo stesso numero $p$ (diverso da zero) senza cambiare il valore del radicale.
$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$
Esempi:
- $\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{8^{2 \cdot 2}} = \sqrt[6]{8^4} = \sqrt[6]{4096} = 4$
- $\sqrt[6]{a^3} = \sqrt[6:3]{a^{3:3}} = \sqrt{a}$
- $\sqrt{5} = \sqrt[2]{5^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{5^3} = \sqrt[6]{125}$
- $\sqrt[4]{16^2} = \sqrt[4:2]{16^{2:2}} = \sqrt{16} = 4$
- $\sqrt[10]{x^5} = \sqrt[10:5]{x^{5:5}} = \sqrt{x}$
2. Prodotto e Quoziente di Radicali (con stesso indice):
Per moltiplicare o dividere radicali con lo stesso indice, puoi moltiplicare o dividere i radicandi.
$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
Esempi:
- $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$
- $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} = 2$
- $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$
- $\dfrac{\sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{\dfrac{162}{2}} = \sqrt[4]{81} = 3$
- $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$
3. Potenza di un Radicale:
Per elevare un radicale a potenza, eleva il radicando a quella potenza.
$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
Esempi:
- $(\sqrt{5})^2 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5$
- $(\sqrt[3]{2})^3 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8} = 2$
- $(\sqrt{3})^4 = \sqrt{3^4} = \sqrt{81} = 9$
- $(\sqrt{x+1})^2 = x+1$
- $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$
Operazioni con i Radicali
Semplificazione di Radicali
Per semplificare un radicale, devi scomporre il radicando in fattori e portare fuori dalla radice quelli con esponente maggiore o uguale all'indice.
Esempio: Per semplificare $\sqrt{48}$, scomponiamo $48 = 16 \cdot 3$. Dato che $16$ è un quadrato perfetto, possiamo scrivere $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Altri Esempi:
- $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
- $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
- $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
- $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$
- $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$
Somma e Sottrazione
Si possono sommare o sottrarre solo i radicali simili, cioè quelli che hanno lo stesso radicando e lo stesso indice.
Esempio: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (2+5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.
Invece, $2\sqrt{3} + 5\sqrt{2}$ non può essere semplificato ulteriormente.
Altri Esempi:
- $\sqrt{18} + \sqrt{50} = \sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{25 \cdot 2} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
- $4\sqrt{5} - \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$
- $2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} - 5\sqrt{7} = (2+3-5)\sqrt{7} = 0$
- $2\sqrt{12} - \sqrt{27} = 2\sqrt{4 \cdot 3} - \sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$
- $\sqrt{20} + \sqrt{45} = \sqrt{4 \cdot 5} + \sqrt{9 \cdot 5} = 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
Razionalizzazione del Denominatore
Questo processo serve a eliminare un radicale dal denominatore di una frazione.
-
Denominatore con un singolo radicale ($\dfrac{A}{\sqrt{B}}$): Moltiplica numeratore e denominatore per lo stesso radicale.
$\dfrac{A}{\sqrt{B}} = \dfrac{A}{\sqrt{B}} \cdot \dfrac{\sqrt{B}}{\sqrt{B}} = \dfrac{A\sqrt{B}}{B}$
Esempi:
- $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
- $\dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
- $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{14}}{7}$
- $\dfrac{6}{\sqrt{2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$
- $\dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \dfrac{5\sqrt{30}}{10} = \dfrac{\sqrt{30}}{2}$
-
Denominatore con un binomio ($\dfrac{A}{\sqrt{B} \pm \sqrt{C}}$): Moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, che ha il segno opposto.
$\dfrac{A}{\sqrt{B} + \sqrt{C}} = \dfrac{A}{\sqrt{B} + \sqrt{C}} \cdot \dfrac{\sqrt{B} - \sqrt{C}}{\sqrt{B} - \sqrt{C}} = \dfrac{A(\sqrt{B} - \sqrt{C})}{B-C}$
Esempi:
- $\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \dfrac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$
- $\dfrac{5}{3+\sqrt{2}} = \dfrac{5}{3+\sqrt{2}} \cdot \dfrac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} = \dfrac{5(3-\sqrt{2})}{9-2} = \dfrac{15-5\sqrt{2}}{7}$
- $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{-2} = \dfrac{-\sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{2}$
- $\dfrac{2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}} \cdot \dfrac{4+2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}(4+2\sqrt{3})}{16-12} = \dfrac{8\sqrt{3}+4 \cdot 3}{4} = \dfrac{8\sqrt{3}+12}{4} = 2\sqrt{3}+3$