Che cos'è la scomposizione?
La scomposizione di un polinomio è l'operazione che lo trasforma nel prodotto di polinomi di grado inferiore, i suoi "fattori". È l'operazione inversa della moltiplicazione di polinomi.
Esempio: Il polinomio $x^2 - 4$ può essere scomposto in $(x-2)(x+2)$. Moltiplicando i fattori si ottiene il polinomio originale.
Metodi di Scomposizione
1. Raccoglimento a Fattor Comune Totale
Si applica quando tutti i termini del polinomio hanno un fattore (numero o lettera) in comune. Questo fattore, che è il Massimo Comune Divisore di tutti i termini, va posto fuori dalla parentesi.
I termini che vanno dentro la parentesi si ottengono dividendo ogni singolo termine del polinomio originale per il fattore comune. La scomposizione è corretta se, moltiplicando il fattore fuori dalla parentesi per ciascun termine al suo interno, si ottiene il polinomio di partenza.
Esempio 1:
Scomponi $6x^3 + 9x^2 - 3x$
Soluzione: Il MCD tra i coefficienti ($6, 9, 3$) è $3$. La lettera comune è $x$, e la potenza più bassa con cui compare è $x^1$. Quindi il fattore comune da mettere fuori è $3x$.
I termini dentro la parentesi si ottengono dividendo il polinomio originale per $3x$:
- $6x^3 / 3x = 2x^2$
- $9x^2 / 3x = 3x$
- $-3x / 3x = -1$
La scomposizione finale è: $$ 3x(2x^2 + 3x - 1) $$
Esempio 2:
Scomponi $10a^4b^2 - 15a^2b^3 + 5a^2b^2$
Soluzione: Il fattore comune è $5a^2b^2$. $$ 5a^2b^2(2a^2 - 3b + 1) $$
Esempio 3:
Scomponi $4x^2(y-1) + 6x(y-1)$
Soluzione: In questo caso, il fattore comune è il binomio $(y-1)$ e il MCD dei monomi è $2x$. Il fattore comune totale è $2x(y-1)$. $$ 2x(y-1)(2x+3) $$
2. Raccoglimento a Fattor Comune Parziale
Si usa quando non c'è un fattore comune a tutti i termini, ma è possibile raggruppare i termini a due a due (o a tre a tre) e raccogliere un fattore comune in ogni gruppo. Questo permette di trovare un "nuovo" fattore comune tra i gruppi.
Esempio 1:
Scomponi $ax + ay + bx + by$
Soluzione: Raggruppiamo i termini $(ax + ay) + (bx + by)$. Raccogliamo a fattor comune in ogni gruppo: $a(x+y) + b(x+y)$. Ora, raccogliamo il fattore comune $(x+y)$: $$ (x+y)(a+b) $$
Esempio 2:
Scomponi $x^3 - x^2 + x - 1$
Soluzione: Raggruppiamo: $(x^3 - x^2) + (x - 1)$. Raccogliamo: $x^2(x-1) + 1(x-1)$. Raccogliamo il fattore comune $(x-1)$: $$ (x-1)(x^2+1) $$
3. Differenza di due Quadrati
Si applica a binomi del tipo $A^2 - B^2$. La scomposizione è data da $(A-B)(A+B)$.
Esempio 1:
Scomponi $9x^2 - 16y^2$
Soluzione: Le radici sono $\sqrt{9x^2} = 3x$ e $\sqrt{16y^2} = 4y$. $$ (3x - 4y)(3x + 4y) $$
Esempio 2:
Scomponi $x^4 - 81$
Soluzione: Le radici sono $\sqrt{x^4} = x^2$ e $\sqrt{81} = 9$. $$ (x^2 - 9)(x^2 + 9) $$ Il primo fattore è ancora una differenza di quadrati, quindi si scompone ulteriormente: $$ (x-3)(x+3)(x^2+9) $$
Esempio 3:
Scomponi $(a+b)^2 - 4$
Soluzione: Le radici sono $\sqrt{(a+b)^2} = (a+b)$ e $\sqrt{4} = 2$. $$ ((a+b)-2)((a+b)+2) = (a+b-2)(a+b+2) $$
4. Quadrato di un Binomio
Si applica a trinomi del tipo $A^2 + 2AB + B^2$ o $A^2 - 2AB + B^2$. La scomposizione è rispettivamente $(A+B)^2$ o $(A-B)^2$.
Esempio 1:
Scomponi $x^2 + 6x + 9$
Soluzione: Le radici quadrate di $x^2$ e $9$ sono $x$ e $3$. Il doppio prodotto è $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$. Poiché coincide col termine centrale, è un quadrato di binomio. $$ (x+3)^2 $$
Esempio 2:
Scomponi $4x^2 - 20xy + 25y^2$
Soluzione: Le radici di $4x^2$ e $25y^2$ sono $2x$ e $5y$. Il doppio prodotto è $2 \cdot (2x) \cdot (5y) = 20xy$. Il termine centrale ha il segno meno, quindi: $$ (2x-5y)^2 $$
5. Trinomio Notabile
Si applica a trinomi del tipo $x^2 + sx + p$ dove $s$ è la somma di due numeri e $p$ è il loro prodotto. La scomposizione è $(x+a)(x+b)$ dove $a+b = s$ e $ab = p$.
Esempio 1:
Scomponi $x^2 + 5x + 6$
Soluzione: Cerchiamo due numeri che sommati diano $5$ e moltiplicati diano $6$. I numeri sono $2$ e $3$. $$ (x+2)(x+3) $$
Esempio 2:
Scomponi $x^2 - x - 12$
Soluzione: Cerchiamo due numeri che sommati diano $-1$ e moltiplicati diano $-12$. I numeri sono $3$ e $-4$. $$ (x+3)(x-4) $$
Esempio 3:
Scomponi $y^2 + 10y + 16$
Soluzione: Cerchiamo due numeri che sommati diano $10$ e moltiplicati diano $16$. I numeri sono $2$ e $8$. $$ (y+2)(y+8) $$
6. Somma e Differenza di Cubi
Si applica a binomi del tipo $A^3 + B^3$ o $A^3 - B^3$.
Formule:
$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$
$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$
Esempio 1:
Scomponi $x^3 + 8$
Soluzione: Riconosciamo $A=x$ e $B=2$. Applichiamo la formula della somma di cubi. $$ (x+2)(x^2-2x+4) $$
Esempio 2:
Scomponi $27a^3 - 64b^3$
Soluzione: Riconosciamo $A=3a$ e $B=4b$. Applichiamo la formula della differenza di cubi. $$ (3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2) $$