Esercizi Interattivi di Matematica

Analizza i problemi, prova a risolverli e poi scopri le soluzioni dettagliate.

Algebra

1. Risolvi la seguente equazione

$$3(x - 7) - 9(x^2 - 3) + (3x + 1)(3x - 1) = 11$$

Svolgimento:

  1. Svolgiamo le moltiplicazioni:
    $$3x - 21 - 9x^2 + 27 + 9x^2 - 1 = 11$$
  2. Semplifichiamo i termini simili. Notiamo che \(-9x^2 e +9x^2\) si annullano.
    $$3x - 21 + 27 - 1 = 11$$
  3. Sommiamo i termini numerici al primo membro:
    $$3x + 5 = 11$$
  4. Portiamo il 5 al secondo membro, cambiandogli di segno:
    $$3x = 11 - 5$$
    $$3x = 6$$
  5. Dividiamo entrambi i membri per \(3\) per trovare \(x:\)
    $$x = \dfrac{6}{3}$$

Soluzione: \(x = 2\)

2. Risolvi il seguente problema algebrico

Se al quadruplo di un numero si aggiunge il suo doppio diminuito di 1 e si sottrae la sua metà, si ottiene 21. Determina il numero.

Impostazione e Svolgimento:

  1. Indichiamo il numero incognito con \(x\).
  2. Traduciamo il problema in un'equazione:
    • Quadruplo del numero: \(4x\)
    • Doppio diminuito di 1: \(2x - 1\)
    • La sua metà: \(\dfrac{x}{2}\)
    L'equazione completa è: $$4x + (2x - 1) - \dfrac{x}{2} = 21$$
  3. Risolviamo l'equazione. Per prima cosa, eliminiamo la frazione moltiplicando tutto per 2:
    $$2 \cdot (4x + 2x - 1 - \dfrac{x}{2}) = 2 \cdot 21$$
    $$8x + 4x - 2 - x = 42$$
  4. Sommiamo i termini con la x:
    $$11x - 2 = 42$$
  5. Isoliamo il termine con la x:
    $$11x = 42 + 2$$
    $$11x = 44$$
  6. Troviamo x:
    $$x = \dfrac{44}{11}$$

Soluzione: Il numero è \(4\).

Disequazioni

Risolvi, a scelta, uno dei seguenti esercizi.

3a. Disequazione fratta

$$\dfrac{2 - x}{x + 4} \le 0$$

Svolgimento:

  1. Studiamo il segno del numeratore (N) e del denominatore (D).
    N ≥ 0: \(2 - x \ge 0 \implies -x \ge -2 \implies x \le 2\)
    D > 0: \(x + 4 > 0 \implies x > -4\)
  2. Creiamo il grafico dei segni per trovare dove la frazione è negativa o uguale a zero (\(\le 0\)). 
          -4         2
N -----|----------|------
segno  +    +     0   -
D -----|----------|------
segno  -    0     +     +
      - - - - - - - - - - -
Fraz.  -    ND    +     0   -
  3. La disequazione è soddisfatta dove il segno è "-" o "0".

Soluzione: \(x < -4 \lor x \ge 2\)

3b. Sistema di disequazioni

$$\begin{cases} 4x + 8 > x - 1 \\ 3x + 1 \ge -(x + 3) \end{cases}$$

Svolgimento:

  1. Risolviamo la prima disequazione:
    $$4x - x > -1 - 8$$
    $$3x > -9$$
    $$x > -3$$
  2. Risolviamo la seconda disequazione:
    $$3x + 1 \ge -x - 3$$
    $$3x + x \ge -3 - 1$$
    $$4x \ge -4$$
    $$x \ge -1$$
  3. Mettiamo a sistema le due soluzioni e troviamo l'intersezione. 
              -3         -1
1ªeq: ---- ○..................
2ªeq: ---------------●.......
Sol:  ---------------●.......

Soluzione: \(x \ge -1\)

Geometria Analitica

4. Calcola il perimetro del triangolo

Dato il triangolo di vertici \(A=(-2, 0)\), \(B=(2, 4)\), \(C=(0, -1)\), determina la misura del perimetro.

Svolgimento:

Il perimetro è la somma delle lunghezze dei tre lati. Usiamo la formula della distanza tra due punti: $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$

  1. Calcolo della distanza AB: $$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - 0)^2}$$ $$AB = \sqrt{(2 + 2)^2 + (4)^2}$$ $$AB = \sqrt{4^2 + 4^2}$$ $$AB = \sqrt{16 + 16}$$ $$AB = \sqrt{32} \approx 5.66$$
  2. Calcolo della distanza BC: $$BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-1 - 4)^2}$$ $$BC = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2}$$ $$BC = \sqrt{4 + 25}$$ $$BC = \sqrt{29} \approx 5.39$$
  3. Calcolo della distanza AC: $$AC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-1 - 0)^2}$$ $$AC = \sqrt{(0 + 2)^2 + (-1)^2}$$ $$AC = \sqrt{2^2 + (-1)^2}$$ $$AC = \sqrt{4 + 1}$$ $$AC = \sqrt{5} \approx 2.24$$
  4. Calcolo del perimetro: $$\text{Perimetro} = AB + BC + AC$$ $$\text{Perimetro} \approx 5.66 + 5.39 + 2.24$$

Soluzione: Perimetro \(\approx 13.29\)

5. Trova l'intersezione delle rette

Trova il punto di intersezione delle seguenti rette e rappresentale graficamente:
r: \(x + y - 4 = 0\)
s: \(2x + y - 5 = 0\)

Svolgimento:

  1. Mettiamo a sistema le due equazioni per trovare il punto comune (x, y):
    $$\begin{cases} x + y - 4 = 0 \\ 2x + y - 5 = 0 \end{cases}$$
  2. Isoliamo la y nella prima equazione: \(y = 4 - x\)
  3. Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione:
    $$2x + (4 - x) - 5 = 0$$
  4. Risolviamo per x:
    $$2x + 4 - x - 5 = 0$$
    $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$
  5. Sostituiamo \(x = 1\) nell'equazione per y:
    $$y = 4 - 1 \implies y = 3$$

Soluzione: Punto di intersezione \(P = (1, 3)\)

6. Individua le rette parallele

Individua tra le seguenti rette quali sono parallele:

  • \(y = -2x + 1\)
  • \(y = -x + 1\)
  • \(x + y + 4 = 0\)
  • \(y = 2x - 5\)

Svolgimento:

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare (\(m\)). Riscriviamo tutte le equazioni nella forma esplicita \(y = mx + q\).

  • \(y = -2x + 1 \implies m = -2\)
  • \(y = -x + 1 \implies m = -1\)
  • \(x + y + 4 = 0 \implies y = -x - 4 \implies m = -1\)
  • \(y = 2x - 5 \implies m = 2\)

Confrontando i coefficienti angolari, vediamo che la seconda e la terza retta hanno entrambe \(m = -1\).

Soluzione: Le rette parallele sono \(y = -x + 1\) e \(x + y + 4 = 0\).