$$ \begin{cases} 2x + y = 4 \\ x - 3y = 9 \end{cases} $$
Generalità sui Sistemi di Equazioni
Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente. La soluzione di un sistema è un insieme di valori che rende vere tutte le equazioni al suo interno.
Esempio: Considera il seguente problema: "La somma di due numeri è $10$, e la loro differenza è $2$." Per trovare i due numeri, possiamo impostare un sistema di equazioni.
$$ \begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases} $$
La soluzione di questo sistema è $(x, y) = (6, 4)$, perché $6+4=10$ e $6-4=2$.
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite, $x$ e $y$, ha la forma generale:
$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$
Grado di un Sistema di Equazioni
Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono. Un sistema di primo grado, o sistema lineare, è composto da equazioni tutte di primo grado.
Esempio di sistema lineare (primo grado):
$$ \begin{cases} 3x + y = 5 \\ x - 2y = 1 \end{cases} $$
Entrambe le equazioni sono di primo grado, quindi il sistema è di grado $1 \times 1 = 1$.
Esempio di sistema non lineare (secondo grado):
$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 - y = 3 \end{cases} $$
La seconda equazione ha un'incognita ($x$) elevata alla seconda potenza, quindi è di secondo grado. Il sistema è di grado $1 \times 2 = 2$.
Metodi Risolutivi
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite può essere risolto con diversi metodi. Di seguito i principali, con esempi pratici.
1. Metodo di Sostituzione
L'obiettivo è isolare un'incognita da una delle equazioni e sostituirla nell'altra, riducendo il sistema a una singola equazione in una sola incognita.
Esempio: Risolviamo il sistema:
$\implies$
Passaggio 1: Isolo $y$ nella prima equazione. Porto $2x$ a destra, cambiando di segno.
$$ \begin{cases} y = 4 - 2x \\ x - 3y = 9 \end{cases} $$
$\implies$
Passaggio 2: Sostituisco l'espressione per $y$ nella seconda equazione.
$$ \begin{cases} y = 4 - 2x \\ x - 3(4 - 2x) = 9 \end{cases} $$
$\implies$
Passaggio 3: Risolvo la seconda equazione per $x$.
$$ x - 12 + 6x = 9 \implies 7x = 21 \implies x = 3 $$
$\implies$
Passaggio 4: Sostituisco il valore di $x$ trovato nella prima equazione per trovare $y$.
$$ y = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2 $$
La soluzione del sistema è $(3, -2)$.
2. Metodo di Confronto
L'obiettivo è isolare la stessa incognita in entrambe le equazioni e confrontare le due espressioni. Si otterrà così una singola equazione in una sola incognita.
Esempio: Risolviamo il sistema:
$$ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + y = 7 \end{cases} $$
$\implies$
Passaggio 1: Isolo $x$ da entrambe le equazioni.
$$ \begin{cases} x = 1 + 2y \\ x = 7 - y \end{cases} $$
$\implies$
Passaggio 2: Eguaglio le due espressioni per $x$ e risolvo per $y$.
$$ 1 + 2y = 7 - y \implies 3y = 6 \implies y = 2 $$
$\implies$
Passaggio 3: Sostituisco il valore di $y$ in una delle espressioni iniziali per trovare $x$.
$$ x = 7 - (2) = 5 $$
La soluzione del sistema è $(5, 2)$.
3. Metodo di Riduzione
L'obiettivo è eliminare un'incognita sommando o sottraendo le due equazioni dopo averle opportunamente moltiplicate, in modo da rendere i coefficienti di un'incognita uguali e di segno opposto.
Esempio: Risolviamo il sistema:
$$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 5x - y = 9 \end{cases} $$
$\implies$
Passaggio 1: Moltiplico la seconda equazione per $2$ per eliminare la $y$.
$$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2(5x - y) = 2(9) \end{cases} \implies \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 10x - 2y = 18 \end{cases} $$
$\implies$
Passaggio 2: Sommo le due equazioni membro a membro per eliminare la $y$.
$$ (3x + 2y) + (10x - 2y) = 8 + 18 \\ 13x = 26 \implies x = 2 $$
$\implies$
Passaggio 3: Sostituisco il valore di $x$ in una delle equazioni iniziali per trovare $y$.
$$ 3(2) + 2y = 8 \implies 6 + 2y = 8 \implies 2y = 2 \implies y = 1 $$
La soluzione del sistema è $(2, 1)$.
4. Metodo di Cramer
Questo metodo utilizza i determinanti per risolvere il sistema. Dati i coefficienti $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$, si calcolano tre determinanti:
1. Determinante del sistema ($D$): $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1$
2. Determinante in $x$ ($D_x$): $\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1$
3. Determinante in $y$ ($D_y$): $\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1$
Le soluzioni sono date da $x = \dfrac{D_x}{D}$ e $y = \dfrac{D_y}{D}$. Se $D=0$, il sistema non è determinato.
Esempio: Risolviamo il sistema:
$$ \begin{cases} 2x + y = 3 \\ x - y = 0 \end{cases} $$
1. $D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 1(1) = -2 - 1 = -3$.
2. $D_x = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 3(-1) - 0(1) = -3$.
3. $D_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(0) - 1(3) = -3$.
4. $x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-3}{-3} = 1$ e $y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-3}{-3} = 1$.
La soluzione del sistema è $(1, 1)$.
Interpretazione Grafica: Intersezione di Due Rette
Ogni equazione lineare in due incognite rappresenta una retta nel piano cartesiano. Risolvere un sistema equivale a trovare il punto di intersezione tra le due rette.
In base al numero di soluzioni, le due rette possono essere:
- Incidenti (1 soluzione): le rette si intersecano in un unico punto. Hanno coefficienti angolari diversi ($m_1 \neq m_2$).
- Parallele (nessuna soluzione): le rette non si incontrano mai. Hanno lo stesso coefficiente angolare ($m_1 = m_2$) e diversa intercetta ($q_1 \neq q_2$).
- Coincidenti (infinite soluzioni): le due rette sono la stessa retta. Hanno lo stesso coefficiente angolare ($m_1 = m_2$) e la stessa intercetta ($q_1 = q_2$).
Esempi di Calcolo del Punto di Intersezione
Vediamo come risolvere i sistemi in base al tipo di intersezioni.
Esempio A: Rette Incidenti (Soluzione Unica)
Consideriamo il sistema:
$$
\begin{cases}
x + 2y = 6 \\
3x - y = 4
\end{cases}
$$
$\implies$
Utilizziamo il metodo di sostituzione. Dalla prima equazione, isolo $x$: $x = 6 - 2y$.
$\implies$
Sostituisco l'espressione di $x$ nella seconda equazione:
$$ 3(6 - 2y) - y = 4 \implies 18 - 6y - y = 4 \implies -7y = 4 - 18 \implies -7y = -14 \implies y = 2 $$
$\implies$
Sostituisco il valore di $y$ per trovare $x$: $x = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$.
La soluzione è $(2, 2)$. Le due rette si intersecano in questo unico punto.
Esempio B: Rette Incidenti (Frazioni)
Consideriamo il sistema:
$$
\begin{cases}
2x + y = 3 \\
x - 3y = 5
\end{cases}
$$
$\implies$
Moltiplico la prima equazione per $3$ e le sommo:
$$ \begin{cases} 6x + 3y = 9 \\ x - 3y = 5 \end{cases} \implies 7x = 14 \implies x = 2 $$
$\implies$
Sostituisco $x=2$ nella prima equazione: $2(2) + y = 3 \implies 4 + y = 3 \implies y = -1$.
La soluzione è $(2, -1)$. Anche in questo caso, le rette si intersecano in un unico punto.
Esempio C: Rette Parallele (Nessuna Soluzione)
Consideriamo il sistema:
$$
\begin{cases}
2x + y = 5 \\
4x + 2y = 1
\end{cases}
$$
$\implies$
Utilizziamo il metodo di riduzione. Moltiplico la prima equazione per $-2$:
$$ \begin{cases} -4x - 2y = -10 \\ 4x + 2y = 1 \end{cases} $$
$\implies$
Sommo le due equazioni. Sia $x$ che $y$ si annullano, lasciandoci con una contraddizione:
$$ 0 = -9 $$
Poiché $0 = -9$ è un'affermazione falsa, il sistema è impossibile. Le due rette sono parallele e non si intersecano mai.
Esempio D: Rette Coincidenti (Infinite Soluzioni)
Consideriamo il sistema:
$$
\begin{cases}
x - y = 2 \\
2x - 2y = 4
\end{cases}
$$
$\implies$
Isolo $x$ dalla prima equazione: $x = 2 + y$.
$\implies$
Sostituisco l'espressione di $x$ nella seconda equazione:
$$ 2(2 + y) - 2y = 4 \implies 4 + 2y - 2y = 4 \implies 4 = 4 $$
Poiché $4=4$ è un'affermazione sempre vera, il sistema è indeterminato. Le due equazioni descrivono la stessa retta, quindi le rette sono coincidenti e hanno infiniti punti in comune.
Visualizzazione Grafica delle Rette
Seleziona un esempio per visualizzare la posizione reciproca delle due rette e il loro punto di intersezione.