Guida Interattiva allo Studio del Segno del Rapporto

Introduzione alle Disequazioni Fratte

Una disequazione fratta (o di rapporto) è una disequazione in cui l'incognita compare anche a denominatore. La sua forma generale è $N(x)/D(x) \gtreqless 0$, dove $N(x)$ è il numeratore e $D(x)$ è il denominatore, entrambi espressioni di primo grado.

Per risolvere queste disequazioni, è necessario studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente e poi combinarli per determinare il segno complessivo del rapporto.

Passaggi per la Risoluzione

1. 1. Forma Standard:

   Assicurati che la disequazione sia nella forma $N(x)/D(x) > 0$, $N(x)/D(x) < 0$, $N(x)/D(x) \ge 0$, o $N(x)/D(x) \le 0$. Se non lo è, porta tutti i termini a un membro e riduci a un'unica frazione.

   Esempio: $ \displaystyle{\dfrac{2x+1}{x-3}} \le 1 \Rightarrow \displaystyle{\dfrac{2x+1}{x-3}} - 1 \le 0 \Rightarrow \displaystyle{\dfrac{2x+1 - (x-3)}{x-3}} \le 0 \Rightarrow \displaystyle{\dfrac{x+4}{x-3}} \le 0 $

2. 2. Studio del Segno del Numeratore ($N(x)$):

   Poni il numeratore $N(x) > 0$ (o $N(x) \ge 0$ se la disequazione originale include l'uguale, cioè $\ge$ o $\le$) e risolvi per $x$. Questo ti dirà per quali valori di $x$ il numeratore è positivo. La radice ($x_N$) è il valore che annulla il numeratore.

   Esempio: $N(x) = x+4$. Poni $x+4 \ge 0 \rightarrow x \ge -4$.

3. 3. Studio del Segno del Denominatore ($D(x)$):

   Poni il denominatore $D(x) > 0$ (sempre strettamente maggiore, perché il denominatore non può mai essere zero, altrimenti la frazione sarebbe indefinita) e risolvi per $x$. Questo ti dirà per quali valori di $x$ il denominatore è positivo. La radice ($x_D$) è il valore che annulla il denominatore.

   Esempio: $D(x) = x-3$. Poni $x-3 > 0 \rightarrow x > 3$.

4. 4. Tabella dei Segni (o Grafico dei Segni):

   Disegna una retta numerica e segna su di essa tutte le "radici" (i valori di $x$ che annullano il numeratore e il denominatore) in ordine crescente. Per ogni fattore ($N(x)$ e $D(x)$), indica con un segno '+' gli intervalli in cui è positivo e con un segno '-' gli intervalli in cui è negativo. Poi, nella riga finale, moltiplica i segni verticalmente per ottenere il segno complessivo del rapporto $N(x)/D(x)$.

   **Convenzioni per la Tabella:**

   • Una linea continua indica che il fattore è positivo in quell'intervallo.
   • Una linea tratteggiata indica che il fattore è negativo.
   • Un pallino pieno ($\bullet$) indica che il valore è incluso (per $N(x)$ se la disequazione è $\ge$ o $\le$).
   • Un pallino vuoto ($\circ$) indica che il valore non è incluso (sempre per $D(x)$, e per $N(x)$ se la disequazione è $>$ o $<$).
   • "N.D." (Non Definito) sotto le radici del denominatore.

   Esempio di Tabella dei Segni per $\displaystyle{\dfrac{x+4}{x-3}} \le 0$:

   Intervallo	$x < -4$	$x = -4$	$-4 < x < 3$	$x = 3$	$x > 3$
   Segno di $N(x) = x+4$	-	0	+	+	+
   Segno di $D(x) = x-3$	-	-	-	N.D.	+
   Segno di $\displaystyle{\dfrac{N(x)}{D(x)}}$	+	0	-	N.D.	+

5. 5. Soluzione Finale:

   In base al verso della disequazione iniziale, identifica gli intervalli in cui il rapporto ha il segno desiderato. Ricorda di includere le radici del numeratore (se la disequazione è $\ge$ o $\le$) ed escludere sempre le radici del denominatore.

   Per $\displaystyle{\dfrac{x+4}{x-3}} \le 0$, cerchiamo dove il rapporto è negativo o nullo. Dal grafico dei segni, è negativo tra -4 e 3, e nullo in -4. Quindi la soluzione è $ -4 \le x < 3 $. In notazione per intervalli: $ [-4, 3) $.

Casi Particolari

• **Denominatore sempre positivo/negativo:** Se il denominatore è una costante o un'espressione sempre positiva (es. $x^2+1$), non è necessario studiarne il segno, basta moltiplicare la disequazione per esso (mantenendo il verso se positivo, invertendo se negativo).
• **Numeratore/Denominatore costanti:** Se $N(x)$ o $D(x)$ sono numeri costanti, il loro segno è fisso e semplifica l'analisi.
• **Disequazione "impossibile" o "sempre vera":** A volte, dopo la tabella dei segni, non ci sono intervalli che soddisfano la condizione (nessuna soluzione) o tutti gli intervalli la soddisfano (sempre vera, escluse le radici del denominatore).