La funzione logaritmica è la funzione inversa della funzione esponenziale. Mentre la funzione esponenziale risponde alla domanda "quale valore si ottiene elevando una base a un certo esponente?", la funzione logaritmica risponde alla domanda "a quale esponente devo elevare una certa base per ottenere un dato valore?".
Definizione
Data una base $a > 0$ e $a \neq 1$, il logaritmo in base $a$ di un numero $x$ (con $x > 0$) è l'esponente $y$ a cui $a$ deve essere elevato per ottenere $x$.
$$ y = \log_a x \quad \iff \quad x = a^y $$
Le condizioni sulla base $a$ ($a > 0$ e $a \neq 1$) sono le stesse della funzione esponenziale. Inoltre, l'argomento del logaritmo ($x$) deve essere strettamente positivo ($x > 0$).
Proprietà e Grafico
Il comportamento della funzione logaritmica $ y = \log_a x $ dipende dal valore della base $a$, in modo analogo alla funzione esponenziale:
Caso 1: $ a > 1 $
- Dominio: $ (0, +\infty) $ (tutti i numeri reali positivi). L'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero.
- Codominio: $ \mathbb{R} $ (tutti i numeri reali).
- Intercetta x: Il grafico interseca l'asse $x$ nel punto $ (1, 0) $, poiché $ \log_a 1 = 0 $ per ogni $ a \neq 1 $.
- Asintoto verticale: L'asse $y$ (cioè la retta $x=0$) è un asintoto verticale. Questo significa che quando $x$ si avvicina a 0 (da destra), il valore di $y$ tende a $ -\infty $.
- Monotonia: La funzione è strettamente crescente su tutto il suo dominio. All'aumentare di $x$, $y$ aumenta.
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Caso 2: $ 0 < a < 1 $
- Dominio: $ (0, +\infty) $.
- Codominio: $ \mathbb{R} $.
- Intercetta x: Il grafico interseca l'asse $x$ nel punto $ (1, 0) $.
- Asintoto verticale: L'asse $y$ (cioè la retta $x=0$) è un asintoto verticale. Questo significa che quando $x$ si avvicina a 0 (da destra), il valore di $y$ tende a $ +\infty $.
- Monotonia: La funzione è strettamente decrescente su tutto il suo dominio. All'aumentare di $x$, $y$ diminuisce.
Logaritmi Speciali
- Logaritmo Decimale (o di Briggs): È il logaritmo in base 10. Si indica con $ \log x $ o $ \log_{10} x $. $$ y = \log x \quad \iff \quad x = 10^y $$
- Logaritmo Naturale (o Neperiano): È il logaritmo in base $e$ (il numero di Nepero, $e \approx 2.718$). Si indica con $ \ln x $ o $ \log_e x $. $$ y = \ln x \quad \iff \quad x = e^y $$
Esercizi Guidati
Esercizio 1: Calcola $ \log_2 8 $.
Soluzione: Ci chiediamo: a quale potenza dobbiamo elevare 2 per ottenere 8?
Sappiamo che $ 2^3 = 8 $.
Quindi, $ \log_2 8 = 3 $.
Esercizio 2: Calcola $ \log_{10} 1000 $.
Soluzione: Ci chiediamo: a quale potenza dobbiamo elevare 10 per ottenere 1000?
Sappiamo che $ 10^3 = 1000 $.
Quindi, $ \log_{10} 1000 = 3 $.
Esercizio 3: Calcola $ \ln e^5 $.
Soluzione: Il logaritmo naturale ha base $e$. Ci chiediamo: a quale potenza dobbiamo elevare $e$ per ottenere $e^5$?
La risposta è chiaramente 5.
Quindi, $ \ln e^5 = 5 $.
Esercizio 4: Per quale valore di $x$ l'espressione $ \log_3 (x-2) $ è definita?
Soluzione: L'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo.
Quindi, dobbiamo avere $ x-2 > 0 $.
$$ x > 2 $$
Il dominio è $ (2, +\infty) $.
Esercizio 5: Se $ \log_4 x = 2 $, qual è il valore di $x$?
Soluzione: Dalla definizione di logaritmo, $ \log_a x = y \iff x = a^y $.
Nel nostro caso, $ a=4 $, $ y=2 $.
Quindi, $ x = 4^2 = 16 $.
Esercizi da Svolvere
- Calcola $ \log_3 9 $.
- Calcola $ \log_5 1 $.
- Calcola $ \log_{1/2} 4 $.
- Trova il valore di $ \ln e $.
- Se $ \log_2 x = 5 $, qual è $x$?
- Per quale valore di $x$ l'espressione $ \log_{10} (3x+1) $ è definita?
- Calcola $ \log_7 \frac{1}{7} $.
- Determina il dominio della funzione $ f(x) = \log_4 (x^2 - 9) $.
- Se $ \log_x 81 = 4 $, qual è la base $x$?
- Calcola $ \log_2 \sqrt{2} $.
Domande a Risposta Multipla
Domanda 1: La funzione inversa di $ y = 3^x $ è:
Domanda 2: Qual è il dominio della funzione $ y = \log_a x $?
Domanda 3: La base $a$ di un logaritmo $ \log_a x $ non può essere:
Domanda 4: Ogni funzione logaritmica $ y = \log_a x $ interseca l'asse $x$ in quale punto?
Domanda 5: Il valore di $ \log_3 \frac{1}{3} $ è:
Domanda 6: Qual è l'asintoto verticale della funzione $ y = \log_2 x $?
Domanda 7: Se $ \log_x 27 = 3 $, qual è la base $x$?
Domanda 8: Il logaritmo naturale di $x$ si indica con:
Domanda 9: Quale delle seguenti funzioni è decrescente?
Domanda 10: $ \log_a a^k $ è uguale a: