Le proprietà dei logaritmi sono regole fondamentali che ci permettono di semplificare espressioni logaritmiche complesse e di risolvere equazioni logaritmiche. Queste proprietà derivano direttamente dalle proprietà delle potenze, dato che il logaritmo è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza.
Per tutte le proprietà, assumiamo che la base $a$ sia $a > 0$ e $a \neq 1$. Gli argomenti dei logaritmi ($x, y$) devono essere strettamente positivi ($x > 0, y > 0$).
1. Logaritmo di un Prodotto
Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.
$$ \log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y $$
2. Logaritmo di un Quoziente
Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore.
$$ \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y $$
3. Logaritmo di una Potenza
Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della base della potenza.
$$ \log_a (x^n) = n \log_a x $$
Questa proprietà è particolarmente utile per "tirare giù" l'incognita dall'esponente quando si risolvono equazioni esponenziali.
4. Logaritmo di una Radice
Il logaritmo di una radice può essere ricondotto alla proprietà della potenza, sapendo che $ \sqrt[n]{x} = x^{1/n} $.
$$ \log_a \sqrt[n]{x} = \log_a (x^{1/n}) = \frac{1}{n} \log_a x $$
5. Formula del Cambiamento di Base
La formula del cambiamento di base ci permette di convertire un logaritmo da una base all'altra. Questo è estremamente utile quando si lavora con calcolatrici che di solito hanno solo logaritmi in base 10 (log) o in base $e$ (ln).
$$ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} $$
Le basi più comuni per il cambiamento di base sono $b=10$ o $b=e$:
- $$ \log_a x = \frac{\log x}{\log a} $$
- $$ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} $$
Proprietà Derivate e Casi Particolari
- Logaritmo della base: $ \log_a a = 1 $ (poiché $ a^1 = a $).
- Logaritmo di 1: $ \log_a 1 = 0 $ (poiché $ a^0 = 1 $).
- Identità logaritmica fondamentale: $ a^{\log_a x} = x $ (per la definizione di logaritmo come inversa dell'esponenziale).
Esercizi Guidati
Esercizio 1: Semplifica $ \log_2 (8 \cdot 4) $.
Soluzione: Usiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto:
$$ \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 $$
Sappiamo che $ \log_2 8 = 3 $ (perché $ 2^3 = 8 $) e $ \log_2 4 = 2 $ (perché $ 2^2 = 4 $).
$$ 3 + 2 = 5 $$
Verifica: $ \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32 = 5 $ (perché $ 2^5 = 32 $).
Esercizio 2: Semplifica $ \log_3 \left(\frac{27}{9}\right) $.
Soluzione: Usiamo la proprietà del logaritmo di un quoziente:
$$ \log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 27 - \log_3 9 $$
Sappiamo che $ \log_3 27 = 3 $ (perché $ 3^3 = 27 $) e $ \log_3 9 = 2 $ (perché $ 3^2 = 9 $).
$$ 3 - 2 = 1 $$
Verifica: $ \log_3 \left(\frac{27}{9}\right) = \log_3 3 = 1 $.
Esercizio 3: Semplifica $ \log_5 (25^3) $.
Soluzione: Usiamo la proprietà del logaritmo di una potenza:
$$ \log_5 (25^3) = 3 \log_5 25 $$
Sappiamo che $ \log_5 25 = 2 $ (perché $ 5^2 = 25 $).
$$ 3 \cdot 2 = 6 $$
Verifica: $ \log_5 (25^3) = \log_5 (15625) = 6 $ (perché $ 5^6 = 15625 $).
Esercizio 4: Calcola $ \log_8 4 $ usando il cambiamento di base.
Soluzione: Possiamo usare la base 2 per il cambiamento di base, dato che 8 e 4 sono potenze di 2.
$$ \log_8 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 8} $$
Sappiamo che $ \log_2 4 = 2 $ e $ \log_2 8 = 3 $.
$$ \frac{2}{3} $$
Esercizio 5: Espandi l'espressione $ \ln \left(\frac{x^2 y}{\sqrt{z}}\right) $.
Soluzione: Applichiamo le proprietà dei logaritmi in ordine:
$$ \ln \left(\frac{x^2 y}{\sqrt{z}}\right) = \ln (x^2 y) - \ln \sqrt{z} \quad (\text{logaritmo di un quoziente}) $$
$$ = \ln x^2 + \ln y - \ln z^{1/2} \quad (\text{logaritmo di un prodotto e radice come potenza}) $$
$$ = 2 \ln x + \ln y - \frac{1}{2} \ln z \quad (\text{logaritmo di una potenza}) $$
Esercizi da Svolgere
- Semplifica $ \log_3 (9 \cdot 27) $.
- Semplifica $ \log_2 \left(\frac{16}{8}\right) $.
- Calcola $ \log_{10} (100^4) $.
- Semplifica $ \ln \sqrt{e^3} $.
- Calcola $ \log_9 3 $ usando il cambiamento di base.
- Espandi l'espressione $ \log_a \left(\frac{x^3}{yz^2}\right) $.
- Comprimi l'espressione $ 2 \log x + 3 \log y - \log z $.
- Se $ \log_2 3 \approx 1.58 $, quanto vale $ \log_3 2 $?
- Calcola $ 5^{\log_5 12} $.
- Semplifica $ \log_4 2 + \log_4 8 $.
Domande a Risposta Multipla
Domanda 1: $ \log_b (M \cdot N) $ è uguale a:
Domanda 2: $ \log_a (x^n) $ è uguale a:
Domanda 3: $ \log_a 1 $ è sempre uguale a:
Domanda 4: Per calcolare $ \log_3 5 $ con una calcolatrice che ha solo $ \ln $, quale formula useresti?
Domanda 5: Il valore di $ \log_7 7 $ è:
Domanda 6: Semplifica $ \log_{10} 2 + \log_{10} 5 $.
Domanda 7: Quale delle seguenti è equivalente a $ \log_a x - \log_a y $?
Domanda 8: $ e^{\ln x} $ è uguale a:
Domanda 9: Se $ \log_4 x = 3 $, allora $x$ è:
Domanda 10: $ \log_a (A/B) $ è uguale a: