Un'equazione logaritmica è un'equazione in cui l'incognita appare come argomento di uno o più logaritmi, o anche nella base del logaritmo stesso. La forma più semplice è $ \log_a x = k $, dove $a$ è la base ($a>0, a \neq 1$) e $k$ è una costante reale.
La risoluzione delle equazioni logaritmiche richiede due passi fondamentali:
- Condizioni di Esistenza (CE): Assicurarsi che gli argomenti di tutti i logaritmi presenti nell'equazione siano strettamente positivi. Questo è il passo più importante e spesso dimenticato.
- Risoluzione algebrica: Ricondurre l'equazione a una forma in cui è possibile eliminare il logaritmo, solitamente trasformando entrambi i membri in un logaritmo con la stessa base e poi uguagliando gli argomenti, oppure trasformando la forma logaritmica in una forma esponenziale.
Metodi di Risoluzione
1. Equazioni del tipo $ \log_a f(x) = k $
Questo tipo di equazione può essere risolto trasformandola nella sua forma esponenziale equivalente.
$$ \log_a f(x) = k \quad \iff \quad f(x) = a^k $$
Ricorda sempre di imporre la condizione di esistenza: $ f(x) > 0 $.
2. Equazioni del tipo $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $
Se riusciamo a ricondurre entrambi i membri dell'equazione a un singolo logaritmo con la stessa base, possiamo uguagliare gli argomenti.
$$ \log_a f(x) = \log_a g(x) \quad \iff \quad f(x) = g(x) $$
Ricorda sempre di imporre le condizioni di esistenza: $ f(x) > 0 $ e $ g(x) > 0 $.
3. Equazioni risolvibili con Sostituzione
Similmente alle equazioni esponenziali, alcune equazioni logaritmiche possono essere ricondotte a forme quadratiche (o di grado superiore) ponendo una variabile ausiliaria. Ad esempio, in un'equazione contenente $ (\log_a x)^2 $ e $ \log_a x $, si può porre $ t = \log_a x $.
Attenzione: non ci sono restrizioni sul valore di $t$ in questo caso, poiché il codominio del logaritmo è $ \mathbb{R} $.
4. Equazioni con Basi Diverse (o Termini Costanti)
Se le basi dei logaritmi sono diverse, è necessario utilizzare la formula del cambiamento di base per portarli tutti alla stessa base. Se ci sono termini costanti che non sono logaritmi, è spesso utile riscriverli come logaritmi con la base comune (ad esempio, $ 2 = \log_a a^2 $).
Esercizi Guidati
Esercizio 1: Risolvi l'equazione $ \log_2 (x+3) = 4 $.
Soluzione:
1. Condizioni di Esistenza (CE): L'argomento del logaritmo deve essere positivo.
$$ x+3 > 0 \implies x > -3 $$
2. Risoluzione: Trasformiamo in forma esponenziale:
$$ x+3 = 2^4 $$
$$ x+3 = 16 $$
$$ x = 16 - 3 $$
$$ x = 13 $$
3. Verifica: La soluzione $ x = 13 $ soddisfa la CE ($ 13 > -3 $). Quindi, la soluzione è $ x = 13 $.
Esercizio 2: Risolvi l'equazione $ \log(x^2 - 1) = \log(3x - 3) $.
Soluzione: (Assumiamo $ \log $ sia in base 10)
1. Condizioni di Esistenza (CE): Entrambi gli argomenti devono essere positivi.
- $ x^2 - 1 > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0 \implies x < -1 \text{ o } x > 1 $
- $ 3x - 3 > 0 \implies 3(x-1) > 0 \implies x > 1 $
La CE complessiva è l'intersezione delle due: $ x > 1 $.
2. Risoluzione: Uguagliamo gli argomenti:
$$ x^2 - 1 = 3x - 3 $$
$$ x^2 - 3x + 2 = 0 $$
Risolviamo l'equazione quadratica (usando la scomposizione o la formula):
$$ (x-1)(x-2) = 0 $$
Soluzioni: $ x_1 = 1 $ e $ x_2 = 2 $.
3. Verifica:
- $ x_1 = 1 $: Non soddisfa la CE $ x > 1 $. Quindi $ x_1 = 1 $ non è una soluzione.
- $ x_2 = 2 $: Soddisfa la CE $ x > 1 $. Quindi $ x_2 = 2 $ è una soluzione.
L'unica soluzione è $ x = 2 $.
Esercizio 3: Risolvi l'equazione $ (\ln x)^2 - 5 \ln x + 6 = 0 $.
Soluzione:
1. Condizioni di Esistenza (CE): L'argomento del logaritmo deve essere positivo.
$$ x > 0 $$
2. Risoluzione: Poniamo $ t = \ln x $.
L'equazione diventa $ t^2 - 5t + 6 = 0 $.
Risolviamo l'equazione quadratica:
$$ (t-2)(t-3) = 0 $$
Soluzioni per $t$: $ t_1 = 2 $ e $ t_2 = 3 $.
3. Sostituzione inversa:
Caso 1: $ \ln x = 2 $
Trasformiamo in forma esponenziale: $ x = e^2 $.
Caso 2: $ \ln x = 3 $
Trasformiamo in forma esponenziale: $ x = e^3 $.
4. Verifica: Entrambe le soluzioni ($ e^2 \approx 7.39 $ e $ e^3 \approx 20.09 $) soddisfano la CE $ x > 0 $.
Le soluzioni sono $ x = e^2 $ e $ x = e^3 $.
Esercizio 4: Risolvi $ \log_3 (x-1) + \log_3 (x+1) = 1 $.
Soluzione:
1. Condizioni di Esistenza (CE): Entrambi gli argomenti devono essere positivi.
- $ x-1 > 0 \implies x > 1 $
- $ x+1 > 0 \implies x > -1 $
La CE complessiva è l'intersezione delle due: $ x > 1 $.
2. Risoluzione: Usiamo la proprietà del logaritmo di un prodotto per combinare i termini a sinistra:
$$ \log_3 ((x-1)(x+1)) = 1 $$
$$ \log_3 (x^2 - 1) = 1 $$
Trasformiamo in forma esponenziale:
$$ x^2 - 1 = 3^1 $$
$$ x^2 - 1 = 3 $$
$$ x^2 = 4 $$
Soluzioni: $ x_1 = 2 $ e $ x_2 = -2 $.
3. Verifica:
- $ x_1 = 2 $: Soddisfa la CE $ x > 1 $. Quindi $ x_1 = 2 $ è una soluzione.
- $ x_2 = -2 $: Non soddisfa la CE $ x > 1 $. Quindi $ x_2 = -2 $ non è una soluzione.
L'unica soluzione è $ x = 2 $.
Esercizio 5: Risolvi $ \log_2 x + \log_4 x = 3 $.
Soluzione:
1. Condizioni di Esistenza (CE): $ x > 0 $.
2. Risoluzione: Le basi sono diverse (2 e 4). Convertiamo $ \log_4 x $ alla base 2 usando la formula del cambiamento di base:
$$ \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} $$
Sostituiamo nell'equazione:
$$ \log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} = 3 $$
Moltiplichiamo tutta l'equazione per 2 per eliminare la frazione:
$$ 2 \log_2 x + \log_2 x = 6 $$
$$ 3 \log_2 x = 6 $$
$$ \log_2 x = \frac{6}{3} $$
$$ \log_2 x = 2 $$
Trasformiamo in forma esponenziale:
$$ x = 2^2 $$
$$ x = 4 $$
3. Verifica: La soluzione $ x = 4 $ soddisfa la CE ($ 4 > 0 $). Quindi, la soluzione è $ x = 4 $.
Esercizi da Svolgere
- Risolvi $ \log_3 (x-5) = 2 $.
- Risolvi $ \ln (x+1) = \ln (2x - 3) $.
- Risolvi $ \log_5 (x^2 + 1) = \log_5 10 $.
- Risolvi $ \log_2 x + \log_2 (x-1) = 1 $.
- Risolvi $ (\log x)^2 - \log x - 2 = 0 $. (Base 10)
- Risolvi $ \log_4 x = \frac{3}{2} $.
- Risolvi $ \ln x + \ln 2 = \ln (x+3) $.
- Risolvi $ \log_2 (x+2) + \log_2 (x-2) = 5 $.
- Risolvi $ \log_{1/3} (2x-1) = -2 $.
- Risolvi $ \log_2 x - \log_8 x = 4 $.
Domande a Risposta Multipla
Domanda 1: Qual è la prima cosa da fare per risolvere un'equazione logaritmica?
Domanda 2: Se $ \log_b (f(x)) = \log_b (g(x)) $, allora:
Domanda 3: La condizione di esistenza per $ \log_3 (x-7) $ è:
Domanda 4: La soluzione dell'equazione $ \log_5 x = 2 $ è:
Domanda 5: Se si pone $ t = \log x $ in un'equazione, quali sono i valori accettabili per $t$?
Domanda 6: Quale delle seguenti equazioni non è logaritmica?
Domanda 7: La soluzione dell'equazione $ \ln x = 0 $ è:
Domanda 8: Per risolvere $ \log_3 x + \log_9 x = 4 $, quale proprietà è utile?
Domanda 9: Se dopo aver risolto un'equazione logaritmica trovi $ x = -2 $, e la CE era $ x > 0 $, allora:
Domanda 10: La soluzione di $ \log_2 (x^2) = 6 $ è: