Nel Capitolo 13 abbiamo visto come risolvere equazioni esponenziali ricondotte a una base comune o tramite sostituzione. Tuttavia, non tutte le equazioni esponenziali possono essere risolte con questi metodi diretti, specialmente quando non è possibile esprimere entrambi i membri come potenze della stessa base (ad esempio, $ 2^x = 3 $).
In questi casi, i logaritmi diventano uno strumento indispensabile. L'idea chiave è applicare un logaritmo (solitamente il logaritmo naturale $\ln$ o il logaritmo in base 10 $\log$) a entrambi i membri dell'equazione. Questo ci permette di utilizzare la proprietà del logaritmo di una potenza ($ \log_a (x^n) = n \log_a x $) per "abbassare" l'esponente, trasformando l'equazione esponenziale in un'equazione algebrica più semplice da risolvere.
Metodo di Risoluzione
Per risolvere un'equazione esponenziale del tipo $ a^x = b $ (dove $a, b > 0$ e $a \neq 1$):
- Isolare il termine esponenziale: Assicurarsi che il termine contenente l'incognita nell'esponente sia isolato su un lato dell'equazione.
- Applicare il logaritmo a entrambi i membri: Si può scegliere di applicare qualsiasi logaritmo, ma i più comodi sono il logaritmo naturale ($\ln$) o il logaritmo in base 10 ($\log$).
- Usare la proprietà del logaritmo di una potenza: "Abbassare" l'esponente.
- Risolvere per l'incognita: Isolare $x$.
$$ \ln(a^x) = \ln(b) $$
oppure
$$ \log(a^x) = \log(b) $$
$$ x \ln a = \ln b $$
$$ x = \frac{\ln b}{\ln a} $$
Questa soluzione è un valore esatto. Se richiesto, si può calcolare un'approssimazione numerica usando una calcolatrice.
Esercizi Guidati
Esercizio 1: Risolvi l'equazione $ 2^x = 7 $.
Soluzione: Non è possibile ricondurre 7 a una potenza di 2. Applichiamo il logaritmo naturale a entrambi i membri.
$$ \ln(2^x) = \ln(7) $$
Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza:
$$ x \ln 2 = \ln 7 $$
Isoliamo $x$:
$$ x = \frac{\ln 7}{\ln 2} $$
Questa è la soluzione esatta. Numericamente, $ x \approx \frac{1.9459}{0.6931} \approx 2.807 $.
Esercizio 2: Risolvi l'equazione $ 5^{x+1} = 12 $.
Soluzione: Applichiamo il logaritmo (base 10, per esempio) a entrambi i membri.
$$ \log(5^{x+1}) = \log(12) $$
Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza:
$$ (x+1) \log 5 = \log 12 $$
Dividiamo per $ \log 5 $:
$$ x+1 = \frac{\log 12}{\log 5} $$
Isoliamo $x$:
$$ x = \frac{\log 12}{\log 5} - 1 $$
Soluzione esatta. Numericamente, $ x \approx \frac{1.079}{0.699} - 1 \approx 1.544 - 1 = 0.544 $.
Esercizio 3: Risolvi l'equazione $ e^{2x-1} = 5 $.
Soluzione: Poiché la base è $e$, è conveniente usare il logaritmo naturale $\ln$ (ricorda che $ \ln e = 1 $).
$$ \ln(e^{2x-1}) = \ln(5) $$
Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza:
$$ (2x-1) \ln e = \ln 5 $$
Poiché $ \ln e = 1 $:
$$ 2x-1 = \ln 5 $$
Isoliamo $x$:
$$ 2x = 1 + \ln 5 $$
$$ x = \frac{1 + \ln 5}{2} $$
Soluzione esatta. Numericamente, $ x \approx \frac{1 + 1.609}{2} \approx \frac{2.609}{2} \approx 1.305 $.
Esercizio 4: Risolvi l'equazione $ 3 \cdot 4^x = 18 $.
Soluzione: Per prima cosa, isoliamo il termine esponenziale dividendo per 3:
$$ 4^x = \frac{18}{3} $$
$$ 4^x = 6 $$
Ora applichiamo il logaritmo (naturale o in base 10) a entrambi i membri. Usiamo il logaritmo naturale.
$$ \ln(4^x) = \ln(6) $$
$$ x \ln 4 = \ln 6 $$
$$ x = \frac{\ln 6}{\ln 4} $$
Soluzione esatta. Numericamente, $ x \approx \frac{1.791}{1.386} \approx 1.292 $.
Esercizio 5: Risolvi l'equazione $ 2^{x+1} = 3^{2x} $.
Soluzione: Le basi sono diverse e non ricoducibili. Applichiamo il logaritmo naturale a entrambi i membri.
$$ \ln(2^{x+1}) = \ln(3^{2x}) $$
Applichiamo la proprietà del logaritmo di una potenza a entrambi i lati:
$$ (x+1) \ln 2 = (2x) \ln 3 $$
Distribuiamo i logaritmi:
$$ x \ln 2 + \ln 2 = 2x \ln 3 $$
Raggruppiamo i termini con $x$ su un lato:
$$ \ln 2 = 2x \ln 3 - x \ln 2 $$
Raccogliamo $x$:
$$ \ln 2 = x (2 \ln 3 - \ln 2) $$
Isoliamo $x$:
$$ x = \frac{\ln 2}{2 \ln 3 - \ln 2} $$
Soluzione esatta. Numericamente, $ x \approx \frac{0.693}{2(1.098) - 0.693} = \frac{0.693}{2.197 - 0.693} = \frac{0.693}{1.504} \approx 0.461 $.
Esercizi da Svolvere
- Risolvi $ 3^x = 10 $.
- Risolvi $ 7^{2x} = 20 $.
- Risolvi $ e^{x+2} = 8 $.
- Risolvi $ 2 \cdot 5^x = 30 $.
- Risolvi $ 4^{x-1} = 3^{x} $.
- Risolvi $ 10^{x^2} = 50 $.
- Risolvi $ 6^{3x+1} = 100 $.
- Risolvi $ 2^{2x-1} = 5^{x+2} $.
- Risolvi $ \frac{1}{2} e^{x} = 4 $.
- Risolvi $ (1.05)^x = 2 $. (Calcola un'approssimazione numerica con due decimali).
Domande a Risposta Multipla
Domanda 1: Per risolvere $ 3^x = 5 $, quale operazione è il primo passo appropriato?
Domanda 2: Se $ \ln(A^x) = \ln(B) $, la prossima fase nella risoluzione è:
Domanda 3: La soluzione esatta di $ e^x = 10 $ è:
Domanda 4: Per risolvere $ 2^{x+1} = 5 $, l'espressione per $x$ è:
Domanda 5: Se $ 4 \cdot 3^x = 24 $, quale delle seguenti è la forma corretta per il calcolo di $x$?
Domanda 6: Risolvi $ 10^{2x} = 7 $.
Domanda 7: L'equazione $ (0.8)^x = 0.5 $ ha una soluzione $x$ che sarà:
Domanda 8: Se $ \ln(x) = \frac{\ln 9}{\ln 3} $, allora $x$ è:
Domanda 9: Quale metodo NON è sempre utile per risolvere equazioni esponenziali?
Domanda 10: La soluzione di $ (1 + 0.05)^x = 3 $ è data da: