Le funzioni goniometriche (o trigonometriche) sono funzioni che mettono in relazione un angolo di un triangolo rettangolo con i rapporti tra le lunghezze dei suoi lati. La loro definizione si estende poi a qualsiasi angolo utilizzando la circonferenza goniometrica.
La circonferenza goniometrica (o cerchio unitario) è una circonferenza centrata nell'origine degli assi cartesiani con raggio unitario ($r=1$). Su questa circonferenza, ogni punto $P(x,y)$ corrisponde a un angolo $ \alpha $ misurato in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle $x$.
Seno ($\sin \alpha$)
Il seno di un angolo $ \alpha $ è l'ordinata ($y$) del punto $P$ sulla circonferenza goniometrica associato a quell'angolo.
$$ \sin \alpha = y_P $$
Il dominio della funzione seno è $ \mathbb{R} $ (tutti i numeri reali), e il suo codominio è l'intervallo $ [-1, 1] $, poiché l'ordinata di un punto sulla circonferenza goniometrica varia tra -1 e 1.
Coseno ($\cos \alpha$)
Il coseno di un angolo $ \alpha $ è l'ascissa ($x$) del punto $P$ sulla circonferenza goniometrica associato a quell'angolo.
$$ \cos \alpha = x_P $$
Il dominio della funzione coseno è $ \mathbb{R} $, e il suo codominio è l'intervallo $ [-1, 1] $, poiché l'ascissa di un punto sulla circonferenza goniometrica varia tra -1 e 1.
Tangente ($\tan \alpha$)
La tangente di un angolo $ \alpha $ è il rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo, ovvero il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto $P$ sulla circonferenza goniometrica.
$$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$
Geometricamente, la tangente di $ \alpha $ è la lunghezza del segmento tangente alla circonferenza goniometrica nel punto $ (1,0) $ (intersezione con il semiasse positivo delle x) e che interseca il prolungamento del raggio che forma l'angolo $ \alpha $.
Il dominio della funzione tangente è $ \mathbb{R} $ eccetto i valori per cui $ \cos \alpha = 0 $, ovvero $ \alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi $, con $ k \in \mathbb{Z} $. Il suo codominio è $ \mathbb{R} $.
Cotangente ($\cot \alpha$ o $\text{ctg } \alpha$)
La cotangente di un angolo $ \alpha $ è il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo, ovvero il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata del punto $P$ sulla circonferenza goniometrica.
$$ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$
Il dominio della funzione cotangente è $ \mathbb{R} $ eccetto i valori per cui $ \sin \alpha = 0 $, ovvero $ \alpha = k\pi $, con $ k \in \mathbb{Z} $. Il suo codominio è $ \mathbb{R} $.
Esercizi Guidati
Esercizio 1: Determina $ \sin 0^\circ $, $ \cos 0^\circ $ e $ \tan 0^\circ $.
Soluzione: L'angolo $0^\circ$ corrisponde al punto $P(1,0)$ sulla circonferenza goniometrica.
$$ \sin 0^\circ = y_P = 0 $$
$$ \cos 0^\circ = x_P = 1 $$
$$ \tan 0^\circ = \frac{\sin 0^\circ}{\cos 0^\circ} = \frac{0}{1} = 0 $$
Esercizio 2: Determina $ \sin 90^\circ $, $ \cos 90^\circ $ e $ \tan 90^\circ $.
Soluzione: L'angolo $90^\circ$ ($ \frac{\pi}{2} $ rad) corrisponde al punto $P(0,1)$ sulla circonferenza goniometrica.
$$ \sin 90^\circ = y_P = 1 $$
$$ \cos 90^\circ = x_P = 0 $$
$$ \tan 90^\circ = \frac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} = \frac{1}{0} \text{ (indefinito)} $$
Esercizio 3: Se $ \sin \alpha = 0.6 $ e $ \cos \alpha = 0.8 $, calcola $ \tan \alpha $.
Soluzione: Utilizziamo la definizione $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$$ \tan \alpha = \frac{0.6}{0.8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75 $$
Esercizio 4: Qual è il valore di $ \cos \pi $?
Soluzione: L'angolo $ \pi $ radianti ($180^\circ$) corrisponde al punto $P(-1,0)$ sulla circonferenza goniometrica.
$$ \cos \pi = x_P = -1 $$
Esercizio 5: Determina $ \cot \frac{\pi}{2} $.
Soluzione: L'angolo $ \frac{\pi}{2} $ radianti ($90^\circ$) corrisponde al punto $P(0,1)$ sulla circonferenza goniometrica.
$$ \cot \frac{\pi}{2} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0 $$
Esercizi da Svolvere
- Determina $ \sin 180^\circ $, $ \cos 180^\circ $ e $ \tan 180^\circ $.
- Determina $ \sin 270^\circ $, $ \cos 270^\circ $ e $ \cot 270^\circ $.
- Qual è il dominio della funzione $ \sin x $?
- Qual è il codominio della funzione $ \cos x $?
- Calcola $ \tan \frac{3\pi}{2} $. Perché?
- Se $ \cos \alpha = -0.5 $ e $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, calcola $ \cot \alpha $.
- In quale quadrante si trova un angolo se il suo seno è positivo e il suo coseno è negativo?
- Se un punto sulla circonferenza goniometrica ha coordinate $ (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) $, quali sono $ \sin \alpha $ e $ \cos \alpha $ per l'angolo associato?
- Spiega perché $ \sin \alpha $ e $ \cos \alpha $ non possono essere maggiori di 1.
- Quali angoli (in radianti) non appartengono al dominio della funzione tangente?
Domande a Risposta Multipla
Domanda 1: Il seno di un angolo è l'ordinata del punto sulla circonferenza goniometrica. Il suo valore massimo è:
Domanda 2: La funzione coseno ha come dominio:
Domanda 3: Per quale valore di $ \alpha $ la $ \tan \alpha $ è indefinita?
Domanda 4: Il valore di $ \sin 270^\circ $ è:
Domanda 5: Se $ \sin \alpha = 0.5 $ e $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $, allora $ \tan \alpha $ è:
Domanda 6: La cotangente di $ \pi $ radianti è:
Domanda 7: Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
Domanda 8: Se $P(x,y)$ è un punto sulla circonferenza goniometrica, quali sono le coordinate di $P$ per un angolo di $0^\circ$?
Domanda 9: Il codominio della funzione $ \tan x $ è:
Domanda 10: La cotangente di un angolo è definita come: