Esistono alcuni angoli particolari le cui funzioni goniometriche hanno valori esatti che è utile conoscere e memorizzare. Questi angoli, $30^\circ$, $45^\circ$ e $60^\circ$ (o in radianti $ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3} $), derivano da triangoli rettangoli notevoli.
1. Angolo di $45^\circ$ ($ \frac{\pi}{4} $ radianti)
Consideriamo un quadrato con lato di lunghezza 1. Disegnando una diagonale, otteniamo due triangoli rettangoli isosceli. Gli angoli acuti di questi triangoli sono entrambi di $45^\circ$. Per il teorema di Pitagora, l'ipotenusa ha lunghezza $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.
[Image of a square with side 1 and its diagonal, forming a 45-45-90 triangle]
- $ \sin 45^\circ = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
- $ \cos 45^\circ = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
- $ \tan 45^\circ = \tan \frac{\pi}{4} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{1}{1} = 1 $
- $ \cot 45^\circ = \cot \frac{\pi}{4} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}} = \frac{1}{1} = 1 $
2. Angoli di $30^\circ$ ($ \frac{\pi}{6} $ radianti) e $60^\circ$ ($ \frac{\pi}{3} $ radianti)
Consideriamo un triangolo equilatero con lato di lunghezza 2. Ogni angolo interno è di $60^\circ$. Disegnando l'altezza relativa a un lato, dividiamo il triangolo equilatero in due triangoli rettangoli congruenti. Ogni triangolo rettangolo avrà angoli di $30^\circ$, $60^\circ$ e $90^\circ$. L'ipotenusa sarà 2, un cateto (metà lato) sarà 1, e l'altro cateto (l'altezza) sarà $ \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} $.
[Image of an equilateral triangle with height drawn, forming two 30-60-90 triangles]
Valori per $30^\circ$ ($ \frac{\pi}{6} $ radianti):
- $ \sin 30^\circ = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} = \frac{1}{2} $
- $ \cos 30^\circ = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
- $ \tan 30^\circ = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $
- $ \cot 30^\circ = \cot \frac{\pi}{6} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} $
Valori per $60^\circ$ ($ \frac{\pi}{3} $ radianti):
- $ \sin 60^\circ = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
- $ \cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} = \frac{1}{2} $
- $ \tan 60^\circ = \tan \frac{\pi}{3} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} $
- $ \cot 60^\circ = \cot \frac{\pi}{3} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{cateto opposto}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $
Tabella Riassuntiva
Ecco una tabella riassuntiva dei valori delle funzioni goniometriche per gli angoli notevoli:
| Angolo | $ \sin \alpha $ | $ \cos \alpha $ | $ \tan \alpha $ | $ \cot \alpha $ |
|---|---|---|---|---|
| $ 30^\circ $ ($ \frac{\pi}{6} $) | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ | $ \sqrt{3} $ |
| $ 45^\circ $ ($ \frac{\pi}{4} $) | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ 1 $ | $ 1 $ |
| $ 60^\circ $ ($ \frac{\pi}{3} $) | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \sqrt{3} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
Esercizi Guidati
Esercizio 1: Calcola il valore esatto di $ \sin 60^\circ + \cos 30^\circ $.
Soluzione: Dai valori noti, sappiamo che $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$$ \sin 60^\circ + \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$
Esercizio 2: Determina il valore di $ \tan \frac{\pi}{4} + \cot \frac{\pi}{4} $.
Soluzione: Sappiamo che $ \tan \frac{\pi}{4} = 1 $ e $ \cot \frac{\pi}{4} = 1 $.
$$ \tan \frac{\pi}{4} + \cot \frac{\pi}{4} = 1 + 1 = 2 $$
Esercizio 3: Calcola $ \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ $.
Soluzione: Dalla relazione fondamentale della goniometria, sappiamo che $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ per qualsiasi angolo $ \alpha $.
In questo caso, $ \alpha = 30^\circ $. Quindi:
$$ \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1 $$
Alternativamente, usando i valori: $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $ e $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$$ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$
Esercizio 4: Trova il valore esatto di $ \frac{\tan 60^\circ}{\sin 60^\circ} $.
Soluzione: Sappiamo che $ \tan 60^\circ = \sqrt{3} $ e $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
$$ \frac{\tan 60^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 $$
Esercizio 5: Calcola $ 2 \cos^2 \frac{\pi}{3} - 1 $.
Soluzione: Sappiamo che $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.
$$ 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} $$
Esercizi da Svolgere
- Calcola $ \sin 30^\circ + \tan 45^\circ $.
- Determina $ \cos 60^\circ \times \sin 45^\circ $.
- Trova il valore di $ \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{6}} $.
- Calcola $ \tan 30^\circ \times \cot 30^\circ $.
- Qual è il valore di $ \sin 45^\circ - \cos 45^\circ $?
- Semplifica l'espressione $ (\sin 60^\circ)^2 + (\cos 60^\circ)^2 $.
- Calcola $ \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}} $.
- Determina il valore di $ \sqrt{3} \cos 30^\circ $.
- Trova $ \sin^2 \frac{\pi}{4} - \cos^2 \frac{\pi}{4} $.
- Calcola $ 4 \sin 30^\circ \cos 60^\circ $.
Domande a Risposta Multipla
Domanda 1: Qual è il valore esatto di $ \sin 30^\circ $?
Domanda 2: Il valore di $ \tan 45^\circ $ è:
Domanda 3: Quale angolo ha seno e coseno uguali?
Domanda 4: Il valore di $ \cos \frac{\pi}{3} $ è:
Domanda 5: Se $ \tan \alpha = \sqrt{3} $, allora $ \alpha $ potrebbe essere:
Domanda 6: $ \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{6} $ è uguale a:
Domanda 7: Qual è il valore di $ \cot 60^\circ $?
Domanda 8: $ \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} $ è uguale a:
Domanda 9: Quale dei seguenti angoli ha il coseno di $ \frac{\sqrt{3}}{2} $?
Domanda 10: Il cateto opposto all'angolo di $30^\circ$ in un triangolo rettangolo notevole (ipotenusa = 2) misura: