Dopo aver studiato gli angoli notevoli nel primo quadrante, è fondamentale saper calcolare le funzioni goniometriche di angoli che si trovano negli altri quadranti (II, III, IV). Questo è possibile utilizzando il concetto di angolo associato o angolo di riferimento, che ci permette di ricondurre il calcolo a un angolo nel primo quadrante, tenendo conto dei segni specifici di seno, coseno e tangente in ciascun quadrante.
Angolo di Riferimento
L'angolo di riferimento ($ \alpha_r $) è l'angolo acuto che l'ipotenusa del triangolo rettangolo forma con l'asse $x$. È sempre un angolo tra $0^\circ$ e $90^\circ$ (o $0$ e $ \frac{\pi}{2} $ radianti).
Calcolo nei Diversi Quadranti
1. Angoli nel II Quadrante ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$ o $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $)
Un angolo $ \alpha $ nel secondo quadrante può essere espresso come $ 180^\circ - \alpha_r $ o $ \pi - \alpha_r $.
- $ \sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha_r) = \sin \alpha_r $ (Il seno è positivo nel II quadrante)
- $ \cos \alpha = \cos(180^\circ - \alpha_r) = -\cos \alpha_r $ (Il coseno è negativo nel II quadrante)
- $ \tan \alpha = \tan(180^\circ - \alpha_r) = -\tan \alpha_r $ (La tangente è negativa nel II quadrante)
- $ \cot \alpha = \cot(180^\circ - \alpha_r) = -\cot \alpha_r $ (La cotangente è negativa nel II quadrante)
2. Angoli nel III Quadrante ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$ o $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $)
Un angolo $ \alpha $ nel terzo quadrante può essere espresso come $ 180^\circ + \alpha_r $ o $ \pi + \alpha_r $.
- $ \sin \alpha = \sin(180^\circ + \alpha_r) = -\sin \alpha_r $ (Il seno è negativo nel III quadrante)
- $ \cos \alpha = \cos(180^\circ + \alpha_r) = -\cos \alpha_r $ (Il coseno è negativo nel III quadrante)
- $ \tan \alpha = \tan(180^\circ + \alpha_r) = \tan \alpha_r $ (La tangente è positiva nel III quadrante)
- $ \cot \alpha = \cot(180^\circ + \alpha_r) = \cot \alpha_r $ (La cotangente è positiva nel III quadrante)
3. Angoli nel IV Quadrante ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$ o $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $)
Un angolo $ \alpha $ nel quarto quadrante può essere espresso come $ 360^\circ - \alpha_r $ o $ 2\pi - \alpha_r $. È anche comune usare angoli negativi, come $ -\alpha_r $.
- $ \sin \alpha = \sin(360^\circ - \alpha_r) = -\sin \alpha_r $ (Il seno è negativo nel IV quadrante)
- $ \cos \alpha = \cos(360^\circ - \alpha_r) = \cos \alpha_r $ (Il coseno è positivo nel IV quadrante)
- $ \tan \alpha = \tan(360^\circ - \alpha_r) = -\tan \alpha_r $ (La tangente è negativa nel IV quadrante)
- $ \cot \alpha = \cot(360^\circ - \alpha_r) = -\cot \alpha_r $ (La cotangente è negativa nel IV quadrante)
Esercizi Guidati
Esercizio 1: Calcola $ \sin 150^\circ $.
Soluzione: L'angolo $150^\circ$ si trova nel II quadrante. L'angolo di riferimento è $ 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $. Nel II quadrante, il seno è positivo.
$$ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $$
Esercizio 2: Calcola $ \cos \frac{7\pi}{6} $.
Soluzione: L'angolo $ \frac{7\pi}{6} $ si trova nel III quadrante ($ \pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} $). L'angolo di riferimento è $ \frac{7\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6} $.
Nel III quadrante, il coseno è negativo.
$$ \cos \frac{7\pi}{6} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$
Esercizio 3: Determina $ \tan 315^\circ $.
Soluzione: L'angolo $315^\circ$ si trova nel IV quadrante ($270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$). L'angolo di riferimento è $ 360^\circ - 315^\circ = 45^\circ $.
Nel IV quadrante, la tangente è negativa.
$$ \tan 315^\circ = \tan(360^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1 $$
Esercizio 4: Calcola $ \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) $.
Soluzione: Un angolo negativo $ -\frac{\pi}{3} $ è equivalente a un angolo nel IV quadrante ($ 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $). L'angolo di riferimento è $ \frac{\pi}{3} $.
Il seno di un angolo negativo è $ -\sin(\text{angolo positivo}) $.
$$ \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$
Esercizio 5: Se $ \cos \alpha = -0.5 $ e $ \alpha $ è nel II quadrante, calcola $ \sin \alpha $.
Soluzione: Usiamo la relazione fondamentale $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
$$ \sin^2 \alpha + (-0.5)^2 = 1 $$
$$ \sin^2 \alpha + 0.25 = 1 $$
$$ \sin^2 \alpha = 0.75 $$
$$ \sin \alpha = \pm \sqrt{0.75} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Poiché $ \alpha $ è nel II quadrante, $ \sin \alpha $ deve essere positivo. Quindi, $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Esercizi da Svolgere
- Calcola $ \sin 210^\circ $.
- Determina $ \cos \frac{5\pi}{4} $.
- Trova il valore di $ \tan 120^\circ $.
- Calcola $ \cot 300^\circ $.
- Qual è il valore di $ \sin \frac{11\pi}{6} $?
- Determina $ \cos(-45^\circ) $.
- Se $ \sin \alpha = -\frac{1}{2} $ e $ \alpha $ è nel IV quadrante, calcola $ \cos \alpha $.
- Trova il valore esatto di $ \tan 240^\circ $.
- Calcola $ \sin 330^\circ $.
- Determina $ \cos \frac{2\pi}{3} $.
Domande a Risposta Multipla
Domanda 1: Qual è l'angolo di riferimento per $ 210^\circ $?
Domanda 2: Se $ \alpha $ è nel secondo quadrante, $ \cos \alpha $ è:
Domanda 3: $ \sin 135^\circ $ è uguale a:
Domanda 4: Qual è il valore di $ \tan \frac{5\pi}{6} $?
Domanda 5: Se $ \cos \alpha = 0.5 $ e $ \alpha $ è nel IV quadrante, allora $ \sin \alpha $ è:
Domanda 6: In quale quadrante $ \sin \alpha $ e $ \cos \alpha $ sono entrambi negativi?
Domanda 7: Il valore di $ \cos 225^\circ $ è:
Domanda 8: Quale dei seguenti angoli ha un angolo di riferimento di $ 60^\circ $?
Domanda 9: $ \cot \frac{5\pi}{3} $ è uguale a:
Domanda 10: Se $ \tan \alpha > 0 $ e $ \cos \alpha < 0 $, in quale quadrante si trova $ \alpha $?