Le equazioni goniometriche elementari di secondo grado sono quelle che, tramite opportune trasformazioni, possono essere ricondotte alla forma di un'equazione di secondo grado in una funzione goniometrica (ad esempio, $ \sin x $, $ \cos x $, o $ \tan x $).
La forma generale di queste equazioni è:
$$ a f^2(x) + b f(x) + c = 0 $$
dove $ f(x) $ è una funzione goniometrica (ad esempio, $ \sin x $) e $ a, b, c $ sono coefficienti reali, con $ a \neq 0 $.
Metodo di Risoluzione
Il metodo principale per risolvere queste equazioni è la sostituzione. Si pone la funzione goniometrica (ad esempio, $ \sin x $) uguale a una nuova variabile (ad esempio, $ t $). L'equazione si trasforma così in una normale equazione algebrica di secondo grado nella variabile $ t $.
Passi da seguire:
- Riconducibilità: Assicurarsi che l'equazione sia riconducibile ad una forma in cui compare solo una funzione goniometrica e i suoi termini quadrati. Potrebbe essere necessario usare la relazione fondamentale $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ per trasformare $ \sin^2 x $ in $ 1-\cos^2 x $ o viceversa, oppure altre identità.
- Sostituzione: Porre la funzione goniometrica (es. $ \sin x $, $ \cos x $, $ \tan x $) uguale a una variabile ausiliaria, ad esempio $ t $.
Esempio: se si ha $ 2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 $, si pone $ t = \sin x $. - Risoluzione dell'equazione algebrica: Risolvere l'equazione di secondo grado in $ t $ (es. $ at^2 + bt + c = 0 $) utilizzando la formula risolutiva:
$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
- Verifica delle soluzioni di $t$: Se la sostituzione coinvolge $ \sin x $ o $ \cos x $, le soluzioni $ t_1, t_2 $ devono essere comprese nell'intervallo $ [-1, 1] $. Se una soluzione di $ t $ è al di fuori di questo intervallo, non è accettabile. Per $ \tan x $, qualsiasi valore di $ t $ è accettabile.
- Risoluzione delle equazioni goniometriche elementari: Sostituire nuovamente $ t $ con la funzione goniometrica originale e risolvere le equazioni goniometriche elementari risultanti (es. $ \sin x = t_1 $ e $ \sin x = t_2 $), come appreso nel Capitolo 7.
Esercizi Guidati
Esercizio 1: Risolvi l'equazione $ 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 $.
Soluzione: Poniamo $ t = \sin x $.
L'equazione diventa $ 2t^2 - 3t + 1 = 0 $.
Usiamo la formula risolutiva per $t$:
$$ t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} $$
Due soluzioni per $t$:
- $ t_1 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 $
- $ t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
Entrambe le soluzioni sono accettabili (sono in $ [-1, 1] $).
Ora risolviamo le equazioni goniometriche elementari:
Caso 1: $ \sin x = 1 $
$$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
Caso 2: $ \sin x = \frac{1}{2} $
$$ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
$$ x = (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
Esercizio 2: Risolvi l'equazione $ \cos^2 x - \cos x - 2 = 0 $.
Soluzione: Poniamo $ t = \cos x $.
L'equazione diventa $ t^2 - t - 2 = 0 $.
$$ t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} $$
- $ t_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 $
- $ t_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $
La soluzione $ t_1 = 2 $ non è accettabile perché $ \cos x $ deve essere compreso tra -1 e 1.
Ora risolviamo l'equazione goniometrica elementare per $ t_2 $:
Caso 1: $ \cos x = -1 $
$$ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
Esercizio 3: Risolvi $ \tan^2 x - \sqrt{3}\tan x = 0 $.
Soluzione: Poniamo $ t = \tan x $.
L'equazione diventa $ t^2 - \sqrt{3}t = 0 $.
Raccogliamo $ t $:
$$ t(t - \sqrt{3}) = 0 $$
Due soluzioni per $t$:
- $ t_1 = 0 $
- $ t_2 = \sqrt{3} $
Entrambe le soluzioni sono accettabili per la tangente.
Ora risolviamo le equazioni goniometriche elementari:
Caso 1: $ \tan x = 0 $
$$ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
Caso 2: $ \tan x = \sqrt{3} $
$$ x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
Esercizio 4: Risolvi $ 2\cos^2 x + \sin x - 1 = 0 $.
Soluzione: In questa equazione compaiono sia seno che coseno. Dobbiamo trasformare $ \cos^2 x $ in termini di $ \sin x $ usando la relazione fondamentale $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $.
Sostituiamo:
$$ 2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1 = 0 $$
$$ 2 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 $$
$$ -2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0 $$
Moltiplichiamo per -1 per avere il coefficiente principale positivo:
$$ 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 $$
Poniamo $ t = \sin x $.
L'equazione diventa $ 2t^2 - t - 1 = 0 $.
$$ t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} $$
- $ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 $
- $ t_2 = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $
Entrambe le soluzioni sono accettabili.
Ora risolviamo le equazioni goniometriche elementari:
Caso 1: $ \sin x = 1 $
$$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
Caso 2: $ \sin x = -\frac{1}{2} $
$$ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (\text{o } \frac{11\pi}{6} + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z} $$
$$ x = (\pi - (-\frac{\pi}{6})) + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
Esercizio 5: Risolvi $ \tan^2 x + 1 = 0 $.
Soluzione: Poniamo $ t = \tan x $.
L'equazione diventa $ t^2 + 1 = 0 $.
$$ t^2 = -1 $$
Questa equazione non ha soluzioni reali per $ t $ (poiché $ t^2 $ non può essere negativo per un numero reale).
Quindi, l'equazione goniometrica originale non ha soluzioni.
Esercizi da Svolvere
- Risolvi $ 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 $.
- Risolvi $ \sin^2 x - 4\sin x + 3 = 0 $.
- Risolvi $ \tan^2 x - \tan x - 2 = 0 $.
- Risolvi $ 2\sin^2 x - 5\cos x - 5 = 0 $. (Suggerimento: trasforma $ \sin^2 x $)
- Risolvi $ 3\tan^2 x - 1 = 0 $.
- Risolvi $ \cos^2 x + \frac{1}{2}\cos x = 0 $.
- Risolvi $ \sin^2 x - 1 = 0 $.
- Risolvi $ 2\tan^2 x + 5\tan x - 3 = 0 $.
- Risolvi $ 4\cos^2 x - 3 = 0 $.
- Risolvi $ \sin^2 x + \cos x - 1 = 0 $.
Domande a Risposta Multipla
Domanda 1: Quale sostituzione è appropriata per risolvere $ 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 $?
Domanda 2: Se si risolve $ t^2 - 5t + 6 = 0 $ per $ t = \cos x $, e le soluzioni sono $ t_1 = 2 $ e $ t_2 = 3 $, quante soluzioni ha l'equazione originale?
Domanda 3: Se $ \tan^2 x - 1 = 0 $, quali sono i possibili valori di $ \tan x $?
Domanda 4: Per risolvere $ \cos^2 x - \sin x + 1 = 0 $, quale trasformazione è necessaria?
Domanda 5: Se le soluzioni per $ t = \sin x $ sono $ t_1 = 0 $ e $ t_2 = -1 $, quante serie di soluzioni si otterranno per $ x $?
Domanda 6: Quale delle seguenti equazioni è di secondo grado in $ \sin x $?
Domanda 7: Se $ \cos^2 x = \frac{1}{4} $, quali sono i possibili valori di $ \cos x $?
Domanda 8: L'equazione $ \tan^2 x + 5 = 0 $ ha:
Domanda 9: Risolvendo $ \sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0 $, si ottengono le soluzioni per $ \sin x $: $ t_1 = 1 $ e $ t_2 = 2 $. Quali di queste soluzioni sono accettabili?
Domanda 10: Se $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $, quante soluzioni ci sono nell'intervallo $ [0, 2\pi) $?