Introduzione: Misurare le Distanze sul Piano
Dopo aver imparato a posizionare i punti sul piano cartesiano, il passo successivo è misurare la distanza tra di essi. Questa capacità è fondamentale in geometria analitica, permettendoci di calcolare lunghezze di segmenti, perimetri di poligoni, e molto altro. Il concetto di distanza tra due punti si basa direttamente sul Teorema di Pitagora.
Distanza tra Due Punti con la Stessa Ascissa o Ordinata
È il caso più semplice. Se due punti si trovano sulla stessa retta orizzontale o verticale, la loro distanza è semplicemente la differenza assoluta delle coordinate che variano.
Punti con la stessa ordinata (segmento orizzontale)
Se $A(x_1, y_A)$ e $B(x_2, y_A)$ hanno la stessa ordinata, la distanza è la differenza assoluta delle loro ascisse:
$$ d(A,B) = |x_2 - x_1| $$
Punti con la stessa ascissa (segmento verticale)
Se $A(x_A, y_1)$ e $B(x_A, y_2)$ hanno la stessa ascissa, la distanza è la differenza assoluta delle loro ordinate:
$$ d(A,B) = |y_2 - y_1| $$
Distanza tra Due Punti Generici
Quando i due punti non si trovano sulla stessa retta orizzontale o verticale, possiamo formare un triangolo rettangolo utilizzando le differenze delle coordinate come cateti e il segmento che li unisce come ipotenusa. Applicando il Teorema di Pitagora, otteniamo la formula generale:
Dati due punti $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$, la distanza $d(A,B)$ è data da:
$$ d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
Questa formula è una delle più importanti in geometria analitica e ti permetterà di risolvere un'ampia varietà di problemi.
Esempi Guidati
Esempio 1: Distanza tra due punti generici
Calcola la distanza tra i punti $A(1, 2)$ e $B(4, 6)$.
Soluzione:
Usiamo la formula generale $d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Qui, $x_1 = 1$, $y_1 = 2$, $x_2 = 4$, $y_2 = 6$.
$d(A,B) = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$
$d(A,B) = \sqrt{(3)^2 + (4)^2}$
$d(A,B) = \sqrt{9 + 16}$
$d(A,B) = \sqrt{25}$
$d(A,B) = 5$
La distanza tra A e B è 5 unità.
Esempio 2: Distanza con coordinate negative
Calcola la distanza tra i punti $P(-2, 3)$ e $Q(3, -9)$.
Soluzione:
Qui, $x_1 = -2$, $y_1 = 3$, $x_2 = 3$, $y_2 = -9$.
$d(P,Q) = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-9 - 3)^2}$
$d(P,Q) = \sqrt{(3 + 2)^2 + (-12)^2}$
$d(P,Q) = \sqrt{(5)^2 + 144}$
$d(P,Q) = \sqrt{25 + 144}$
$d(P,Q) = \sqrt{169}$
$d(P,Q) = 13$
La distanza tra P e Q è 13 unità.
Esempio 3: Distanza tra punti con la stessa ascissa
Calcola la distanza tra i punti $C(5, -1)$ e $D(5, 7)$.
Soluzione:
Poiché i punti hanno la stessa ascissa ($x=5$), la distanza è $|y_2 - y_1|$.
$d(C,D) = |7 - (-1)|$
$d(C,D) = |7 + 1|$
$d(C,D) = |8|$
$d(C,D) = 8$
La distanza tra C e D è 8 unità.
Si può anche usare la formula generale per verificare:
$d(C,D) = \sqrt{(5 - 5)^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{(0)^2 + (8)^2} = \sqrt{64} = 8$
Esempio 4: Distanza dall'origine
Calcola la distanza del punto $R(6, -8)$ dall'origine $O(0, 0)$.
Soluzione:
Usiamo la formula generale con $x_1 = 0$, $y_1 = 0$, $x_2 = 6$, $y_2 = -8$.
$d(O,R) = \sqrt{(6 - 0)^2 + (-8 - 0)^2}$
$d(O,R) = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2}$
$d(O,R) = \sqrt{36 + 64}$
$d(O,R) = \sqrt{100}$
$d(O,R) = 10$
La distanza del punto R dall'origine è 10 unità.
Quesiti a Risposta Multipla
Esercizi con Calcoli
1. Calcola la distanza tra $A(2, 3)$ e $B(5, 7)$.
2. Calcola la distanza tra $C(-1, -4)$ e $D(3, -1)$.
3. Calcola la distanza tra $E(0, 8)$ e $F(0, -2)$.
4. Calcola la distanza tra $G(-5, 0)$ e $H(2, 0)$.
5. Calcola la distanza del punto $L(8, 15)$ dall'origine.