Capitolo 16: Punto medio di un segmento

Introduzione: Il Centro di un Segmento

Nel capitolo precedente, abbiamo imparato a calcolare la distanza tra due punti nel piano cartesiano. Ora, un'altra operazione fondamentale che possiamo compiere è trovare il punto medio di un segmento. Il punto medio è, come suggerisce il nome, il punto che divide il segmento in due parti uguali, trovandosi esattamente a metà strada tra i due estremi.

Questa nozione è cruciale non solo per la geometria di base (es. disegnare mediane in un triangolo), ma anche per concetti più avanzati in fisica e ingegneria, dove spesso si deve calcolare il "centro" di qualcosa.

Formula del Punto Medio

Data la semplicità del concetto, anche la formula per calcolare le coordinate del punto medio è molto intuitiva. Se abbiamo due punti $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$, le coordinate del loro punto medio $M(x_M, y_M)$ si ottengono calcolando la media aritmetica delle rispettive coordinate $x$ e $y$ dei due punti.

Le formule per le coordinate del punto medio sono:

$$ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} $$

$$ y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} $$

O, in forma sintetica, il punto medio è $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Come puoi vedere dalla formula, trovare il punto medio è come calcolare la "media" delle coordinate dei due estremi.

Esempi Guidati

Esempio 1: Punto medio di un segmento generico

Trova le coordinate del punto medio $M$ del segmento che unisce $A(1, 2)$ e $B(5, 8)$.

Soluzione:

Applichiamo le formule del punto medio:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Il punto medio è $M(3, 5)$.

Esempio 2: Punto medio con coordinate negative

Calcola il punto medio $M$ del segmento che unisce $P(-4, 3)$ e $Q(2, -7)$.

Soluzione:

Applichiamo le formule del punto medio:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Il punto medio è $M(-1, -2)$.

Esempio 3: Trovare un estremo conoscendo l'altro estremo e il punto medio

Il punto medio di un segmento $AB$ è $M(3, 4)$. Se un estremo è $A(1, 1)$, quali sono le coordinate dell'altro estremo $B(x_B, y_B)$?

Soluzione:

Usiamo le formule del punto medio e le risolviamo per $x_B$ e $y_B$:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \implies 3 = \frac{1 + x_B}{2}$

$3 \cdot 2 = 1 + x_B \implies 6 = 1 + x_B \implies x_B = 6 - 1 = 5$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \implies 4 = \frac{1 + y_B}{2}$

$4 \cdot 2 = 1 + y_B \implies 8 = 1 + y_B \implies y_B = 8 - 1 = 7$

L'altro estremo è $B(5, 7)$.

Quesiti a Risposta Multipla

1. Qual è la formula per la coordinata $x$ del punto medio $M(x_M, y_M)$ di un segmento con estremi $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$?

$x_M = x_1 + x_2$ $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$ $x_M = |x_2 - x_1|$ $x_M = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$

2. Il punto medio del segmento che unisce $(2, 4)$ e $(6, 10)$ è:

$(4, 7)$. $(8, 14)$. $(-4, -6)$. $(2, 3)$.

3. Se il punto medio di $CD$ è $M(0, 0)$ e $C(-3, -5)$, qual è $D$?

$(3, 5)$. $(-3, -5)$. $(0, 0)$. $(6, 10)$.

4. Il punto medio di un segmento si trova:

Vicino a uno degli estremi. Esattamente a metà tra gli estremi. Sempre sull'asse x. Sempre sull'asse y.

5. Se i due estremi di un segmento hanno la stessa ordinata, il punto medio avrà la stessa ordinata?

Sì. No. Dipende dalle ascisse. Solo se l'ordinata è 0.

Esercizi con Calcoli

1. Trova il punto medio del segmento con estremi $A(0, 0)$ e $B(6, 4)$.

2. Calcola il punto medio del segmento che unisce $P(-1, 5)$ e $Q(7, -3)$.

3. Il punto medio di $XY$ è $M(5, 2)$. Se $X(1, 0)$, quali sono le coordinate di $Y$?

4. Trova il punto medio del segmento con estremi $E(-2, -6)$ e $F(-8, -4)$.

5. Se il punto medio di un segmento è $M(-3, 1)$ e un estremo è $G(-7, 5)$, qual è l'altro estremo $H$?