Introduzione: Due Punti Definiscono una Retta
Abbiamo esplorato le diverse forme dell'equazione di una retta (implicita ed esplicita) e il significato dei loro coefficienti. Ora, ci concentriamo su un problema fondamentale in geometria analitica: come determinare l'equazione di una retta quando conosciamo le coordinate di due punti distinti per i quali essa passa.
Il principio è semplice: per due punti distinti passa una e una sola retta. Questo significa che, una volta dati due punti, la retta è univocamente determinata, e quindi anche la sua equazione.
Formula per la retta passante per due punti
Dati due punti $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$, l'equazione della retta che passa per essi può essere trovata utilizzando la seguente formula:
$$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $$
Questa formula è valida a condizione che $x_1 \neq x_2$ e $y_1 \neq y_2$. Se una di queste condizioni non è vera, si ricade nei casi particolari di rette orizzontali o verticali, che vedremo subito dopo.
Come funziona la formula:
Questa formula si basa sull'idea che la pendenza della retta è costante tra qualsiasi coppia di punti su di essa. Possiamo pensare a $(x, y)$ come un punto generico sulla retta.
Il rapporto $\frac{y - y_1}{x - x_1}$ rappresenta la pendenza tra il punto generico $(x, y)$ e il punto $A(x_1, y_1)$.
Il rapporto $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ rappresenta la pendenza tra i due punti dati $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$.
Eguagliando queste due espressioni della pendenza, otteniamo la formula sopra. Una volta applicata, è possibile riscriverla in forma esplicita ($y = mx + q$) o implicita ($ax + by + c = 0$).
Casi Particolari
Se i due punti hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata, la formula generale non può essere usata direttamente (perché si avrebbe una divisione per zero). In questi casi, la retta è verticale o orizzontale:
- Se $x_1 = x_2$: La retta è verticale e la sua equazione è semplicemente $x = x_1$ (o $x = x_2$).
Esempio: Se $A(3, 1)$ e $B(3, 5)$, l'equazione è $x = 3$.
- Se $y_1 = y_2$: La retta è orizzontale e la sua equazione è semplicemente $y = y_1$ (o $y = y_2$).
Esempio: Se $A(2, 4)$ e $B(7, 4)$, l'equazione è $y = 4$.
Esempi Guidati
Esempio 1: Retta passante per due punti generici
Trova l'equazione della retta che passa per i punti $A(1, 2)$ e $B(3, 6)$.
Soluzione:
Usiamo la formula $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.
Sostituiamo $x_1 = 1, y_1 = 2, x_2 = 3, y_2 = 6$:
$$ \frac{y - 2}{6 - 2} = \frac{x - 1}{3 - 1} $$
$$ \frac{y - 2}{4} = \frac{x - 1}{2} $$
Moltiplichiamo entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori (4):
$$ 4 \cdot \frac{y - 2}{4} = 4 \cdot \frac{x - 1}{2} $$
$$ y - 2 = 2(x - 1) $$
$$ y - 2 = 2x - 2 $$
$$ y = 2x - 2 + 2 $$
$$ y = 2x $$
L'equazione della retta è $y = 2x$ (in forma esplicita).
In forma implicita: $2x - y = 0$.
Esempio 2: Retta con pendenza negativa
Trova l'equazione della retta che passa per i punti $P(-2, 5)$ e $Q(4, -1)$.
Soluzione:
Usiamo la formula $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.
Sostituiamo $x_1 = -2, y_1 = 5, x_2 = 4, y_2 = -1$:
$$ \frac{y - 5}{-1 - 5} = \frac{x - (-2)}{4 - (-2)} $$
$$ \frac{y - 5}{-6} = \frac{x + 2}{6} $$
Moltiplichiamo entrambi i membri per 6 (o -6):
$$ 6 \cdot \frac{y - 5}{-6} = 6 \cdot \frac{x + 2}{6} $$
$$ -(y - 5) = x + 2 $$
$$ -y + 5 = x + 2 $$
Isoliamo $y$ per la forma esplicita:
$$ -y = x + 2 - 5 $$
$$ -y = x - 3 $$
$$ y = -x + 3 $$
L'equazione della retta è $y = -x + 3$.
Esempio 3: Caso di retta orizzontale
Trova l'equazione della retta che passa per $C(1, 4)$ e $D(5, 4)$.
Soluzione:
Notiamo che $y_1 = y_2 = 4$. Questo significa che la retta è orizzontale.
L'equazione è semplicemente $y = 4$.
(Se avessimo provato con la formula, avremmo avuto $y_2 - y_1 = 0$ al denominatore, il che non è definito).
Esempio 4: Caso di retta verticale
Trova l'equazione della retta che passa per $E(-3, 2)$ e $F(-3, -6)$.
Soluzione:
Notiamo che $x_1 = x_2 = -3$. Questo significa che la retta è verticale.
L'equazione è semplicemente $x = -3$.
(Se avessimo provato con la formula, avremmo avuto $x_2 - x_1 = 0$ al denominatore, il che non è definito).
Quesiti a Risposta Multipla
Esercizi con Calcoli
1. Trova l'equazione della retta che passa per $A(2, 1)$ e $B(4, 5)$.
2. Trova l'equazione della retta che passa per $P(-1, -3)$ e $Q(3, 5)$.
3. Scrivi l'equazione della retta passante per $E(4, 7)$ e $F(4, -2)$.
4. Scrivi l'equazione della retta passante per $G(-3, 1)$ e $H(5, 1)$.
5. Trova l'equazione della retta che passa per l'origine $(0,0)$ e il punto $(6, -3)$.