Introduzione: Cosa sono le Disuguaglianze Numeriche?
Dopo aver approfondito le equazioni, è tempo di esplorare un altro tipo di relazioni matematiche: le disuguaglianze. Mentre le equazioni esprimono un'uguaglianza ($=$) tra due espressioni, le disuguaglianze esprimono una relazione di "maggiore di", "minore di", "maggiore o uguale a", o "minore o uguale a".
I Simboli delle Disuguaglianze
Esistono quattro simboli principali per esprimere le disuguaglianze:
- $a < b$: "a è minore di b"
- $a > b$: "a è maggiore di b"
- $a \leq b$: "a è minore o uguale a b" (significa che a può essere minore di b, oppure a è uguale a b)
- $a \geq b$: "a è maggiore o uguale a b" (significa che a può essere maggiore di b, oppure a è uguale a b)
Una disuguaglianza numerica è un'espressione che contiene solo numeri e uno di questi simboli. Ad esempio, $5 < 8$ è una disuguaglianza numerica vera, mentre $10 \geq 12$ è una disuguaglianza numerica falsa.
Proprietà delle Disuguaglianze
Le disuguaglianze hanno alcune proprietà importanti che dobbiamo conoscere, soprattutto quando inizieremo a manipolarle nelle disequazioni:
- Proprietà di Transitività: Se $a < b$ e $b < c$, allora $a < c$. (Es: se $3 < 5$ e $5 < 7$, allora $3 < 7$). Questo vale per tutti i simboli di disuguaglianza.
- Addizione e Sottrazione: Se si aggiunge o si sottrae la stessa quantità ad entrambi i membri di una disuguaglianza, il verso della disuguaglianza non cambia.
- Se $a < b$, allora $a + c < b + c$. (Es: se $2 < 5$, allora $2+3 < 5+3 \implies 5 < 8$).
- Se $a < b$, allora $a - c < b - c$. (Es: se $2 < 5$, allora $2-3 < 5-3 \implies -1 < 2$).
- Moltiplicazione e Divisione per un numero Positivo: Se si moltiplica o si divide entrambi i membri di una disuguaglianza per la stessa quantità positiva, il verso della disuguaglianza non cambia.
- Se $a < b$ e $c > 0$, allora $a \cdot c < b \cdot c$. (Es: se $2 < 5$ e $c=3$, allora $2 \cdot 3 < 5 \cdot 3 \implies 6 < 15$).
- Se $a < b$ e $c > 0$, allora $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$. (Es: se $2 < 5$ e $c=2$, allora $\frac{2}{2} < \frac{5}{2} \implies 1 < 2.5$).
- Moltiplicazione e Divisione per un numero Negativo: Se si moltiplica o si divide entrambi i membri di una disuguaglianza per la stessa quantità negativa, il verso della disuguaglianza si inverte.
- Se $a < b$ e $c < 0$, allora $a \cdot c > b \cdot c$. (Es: se $2 < 5$ e $c=-1$, allora $2 \cdot (-1) > 5 \cdot (-1) \implies -2 > -5$).
- Se $a < b$ e $c < 0$, allora $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$. (Es: se $2 < 5$ e $c=-2$, allora $\frac{2}{-2} > \frac{5}{-2} \implies -1 > -2.5$).
- Reciproco: Se si prendono i reciproci di due numeri positivi, il verso della disuguaglianza si inverte. Se i numeri sono negativi, o uno positivo e uno negativo, la situazione è più complessa. Per i nostri scopi, concentriamoci sui numeri positivi:
- Se $a > 0, b > 0$ e $a < b$, allora $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. (Es: se $2 < 5$, allora $\frac{1}{2} > \frac{1}{5} \implies 0.5 > 0.2$).
Capire queste proprietà è fondamentale per la risoluzione delle disequazioni, che affronteremo nel prossimo capitolo.
Esempi Guidati
Esempio 1: Verificare una Disuguaglianza
Determina se la disuguaglianza $7 \geq 7$ è vera o falsa.
Soluzione:
Il simbolo $\geq$ significa "maggiore o uguale a". Poiché 7 è uguale a 7, la condizione è soddisfatta.
La disuguaglianza $7 \geq 7$ è vera.
Esempio 2: Applicare Addizione/Sottrazione
Partendo da $4 < 9$, aggiungi $-3$ a entrambi i membri e verifica il verso.
Soluzione:
Disuguaglianza iniziale: $4 < 9$
Aggiungiamo $-3$ a entrambi i membri:
$4 + (-3) < 9 + (-3)$
$4 - 3 < 9 - 3$
$1 < 6$
La disuguaglianza finale $1 < 6$ è vera e il verso non è cambiato. Questo conferma la proprietà di addizione/sottrazione.
Esempio 3: Applicare Moltiplicazione (Numero Positivo)
Partendo da $-2 < 5$, moltiplica entrambi i membri per $2$ e verifica il verso.
Soluzione:
Disuguaglianza iniziale: $-2 < 5$
Moltiplichiamo entrambi i membri per $2$ (che è un numero positivo):
$-2 \cdot 2 < 5 \cdot 2$
$-4 < 10$
La disuguaglianza finale $-4 < 10$ è vera e il verso non è cambiato. Questo conferma la proprietà di moltiplicazione per un numero positivo.
Esempio 4: Applicare Moltiplicazione (Numero Negativo)
Partendo da $3 > -6$, moltiplica entrambi i membri per $-1$ e verifica il verso.
Soluzione:
Disuguaglianza iniziale: $3 > -6$
Moltiplichiamo entrambi i membri per $-1$ (che è un numero negativo):
$3 \cdot (-1)$ e $-6 \cdot (-1)$
$-3$ e $6$
Poiché $-3$ è minore di $6$, dobbiamo invertire il verso della disuguaglianza.
$-3 < 6$
La disuguaglianza finale $-3 < 6$ è vera e il verso è cambiato. Questo conferma la proprietà di moltiplicazione per un numero negativo.
Quesiti a Risposta Multipla
Esercizi con Calcoli
1. Determina se la disuguaglianza $10 > 5$ è vera o falsa.
2. Determina se la disuguaglianza $-3 \leq -4$ è vera o falsa.
3. Data $6 < 10$, aggiungi $5$ a entrambi i membri e scrivi la nuova disuguaglianza.
4. Data $20 \geq 15$, sottrai $7$ da entrambi i membri e scrivi la nuova disuguaglianza.
5. Data $-4 < 6$, moltiplica entrambi i membri per $3$ e scrivi la nuova disuguaglianza.
6. Data $9 > -3$, dividi entrambi i membri per $-3$ e scrivi la nuova disuguaglianza.
7. Se $a=5$, $b=2$, $c=-1$, verifica se $a \cdot c < b \cdot c$ è vero o falso.
8. Ordina i seguenti numeri in ordine crescente usando i simboli di disuguaglianza: $-1, 0, 5, -8$
9. Se $x=4$, $y=1$, $z=-2$, verifica se $xz > yz$ è vero o falso.
10. Data $\frac{1}{2} < 1$, prendi i reciproci di entrambi i membri e scrivi la nuova disuguaglianza. (Ricorda: vale solo per numeri positivi).