Capitolo 6: Disequazioni lineari

Introduzione: Cosa sono le Disequazioni Lineari?

Nel capitolo precedente abbiamo esaminato le disuguaglianze numeriche, che sono relazioni tra numeri. Ora applicheremo questi concetti per risolvere le disequazioni lineari. Una disequazione lineare è un'espressione algebrica che contiene una variabile (solitamente $x$) e uno dei simboli di disuguaglianza ($<, >, \leq, \geq$).

L'obiettivo di risolvere una disequazione è trovare l'intervallo di valori della variabile che rendono la disuguaglianza vera. A differenza delle equazioni, che spesso hanno un numero finito di soluzioni (o nessuna, o infinite nel caso di un'identità), le disequazioni di solito hanno infinite soluzioni che formano un intervallo continuo sulla retta reale.

Come si risolvono le Disequazioni Lineari?

La risoluzione delle disequazioni lineari è molto simile a quella delle equazioni lineari, con un'unica, importantissima differenza, derivante dalle proprietà delle disuguaglianze:

1. Eliminare le parentesi: Se presenti, usa la proprietà distributiva.
2. Spostare i termini con la $x$: Raggruppa tutti i termini contenenti la variabile incognita ($x$) a un membro (es. sinistra) e tutti i termini noti (numeri) all'altro membro (es. destra). Ricorda di cambiare il segno dei termini quando li sposti. Il verso della disequazione non cambia in questa fase.
3. Sommare i termini simili: Raggruppa e somma i termini simili in ciascun membro. Otterrai una forma del tipo $Ax < B$, $Ax > B$, $Ax \leq B$, o $Ax \geq B$.
4. Isolare la $x$: Dividi entrambi i membri per il coefficiente della $x$ (cioè $A$). Questa è la fase cruciale:
   • Se $A$ è un numero positivo ($A > 0$), il verso della disequazione non cambia.
   • Se $A$ è un numero negativo ($A < 0$), il verso della disequazione si inverte.
   • Se $A = 0$, la disequazione può essere indeterminata o impossibile (vedi sotto).
5. Rappresentare la soluzione: La soluzione di una disequazione è un intervallo. Può essere rappresentata in diversi modi:
   • Notazione con disuguaglianza: es. $x > 5$
   • Notazione con intervalli: es. $(5, +\infty)$ o $[5, +\infty)$
     • Parentesi tonda `(` o `)`: il valore non è incluso nell'intervallo (corrisponde a $<$ o $>$).
     • Parentesi quadra `[` o `]`: il valore è incluso nell'intervallo (corrisponde a $\leq$ o $\geq$).
   • Graficamente sulla retta reale: Si disegna una retta, si segna il valore critico e si colora l'intervallo di soluzioni. Un pallino vuoto (o parentesi tonda) indica che il punto non è incluso, un pallino pieno (o parentesi quadra) indica che è incluso.

Come per le equazioni, ci sono casi particolari quando il coefficiente $A$ è zero:

• Se $A = 0$ e la disequazione diventa una disuguaglianza vera (es. $0x < 5 \implies 0 < 5$), la disequazione è indeterminata, cioè è vera per ogni $x \in \mathbb{R}$. La soluzione è $(-\infty, +\infty)$.
• Se $A = 0$ e la disequazione diventa una disuguaglianza falsa (es. $0x > 5 \implies 0 > 5$), la disequazione è impossibile. Non ci sono soluzioni. La soluzione è l'insieme vuoto $\emptyset$.

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