Capitolo 7: Sistemi di disequazioni

Trova le soluzioni comuni a più condizioni contemporaneamente!

Introduzione: Cosa sono i Sistemi di Disequazioni?

Dopo aver imparato a risolvere singole disequazioni lineari, è il momento di affrontare i sistemi di disequazioni. Un sistema di disequazioni è un insieme di due o più disequazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente.

La soluzione di un sistema di disequazioni è l'insieme di tutti i valori della variabile che rendono vere tutte le disequazioni del sistema allo stesso tempo. In pratica, si cerca l'intersezione degli intervalli di soluzione di ciascuna disequazione.

Visivamente, questo significa trovare le regioni sulla retta reale dove le soluzioni di tutte le disequazioni si sovrappongono. Se non c'è nessuna sovrapposizione, il sistema è impossibile.

Come si risolvono i Sistemi di Disequazioni?

I passaggi per risolvere un sistema di disequazioni sono i seguenti:

  1. Risolvere ogni disequazione separatamente: Considera ogni disequazione del sistema come un problema a sé stante e risolvila usando le tecniche apprese nel capitolo precedente. Per ciascuna disequazione, trova il suo intervallo di soluzioni e, se utile, rappresentalo su una retta reale ausiliaria.
  2. Rappresentare le soluzioni su un'unica retta reale: Disegna una sola retta reale. Per ogni disequazione del sistema, rappresenta il suo intervallo di soluzione su questa retta. Utilizza linee piene per le regioni di soluzione e linee tratteggiate per le regioni che non fanno parte della soluzione (o semplicemente non evidenziarle). Usa pallini pieni per gli estremi inclusi ($\leq, \geq$) e pallini vuoti per gli estremi esclusi ($<, >$).
  3. Trovare l'intersezione delle soluzioni: Identifica le regioni della retta reale dove tutte le linee di soluzione (quelle piene) si sovrappongono. Questa regione comune è l'intervallo di soluzioni del sistema.
  4. Scrivere la soluzione finale: Esprimi la soluzione del sistema in notazione con disuguaglianza o con intervalli.

È fondamentale essere precisi nella rappresentazione grafica, poiché un errore nella posizione dei punti o nell'indicazione dei versi può portare a una soluzione errata.

Esempi Guidati

Esempio 1: Sistema con due disequazioni

Risolvi il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} x + 3 > 5 \\ 2x \leq 12 \end{cases}$

Soluzione:

1. Risolviamo la prima disequazione:

$x + 3 > 5 \implies x > 5 - 3 \implies x > 2$

Soluzione 1: $(2, +\infty)$

2. Risolviamo la seconda disequazione:

$2x \leq 12 \implies x \leq \frac{12}{2} \implies x \leq 6$

Soluzione 2: $(-\infty, 6]$

3. Rappresentiamo le soluzioni sulla retta reale:

Disequazione 1 ($x > 2$):
2 6

Disequazione 2 ($x \leq 6$):
2 6

4. Intersezione delle soluzioni:

La regione dove entrambe le soluzioni si sovrappongono è tra 2 (escluso) e 6 (incluso).

Soluzione finale: $(2, 6]$

Rappresentazione finale:
0 2 6

Esempio 2: Sistema con disequazione impossibile

Risolvi il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} x - 1 > 4 \\ 2x \leq 2x - 3 \end{cases}$

Soluzione:

1. Risolviamo la prima disequazione:

$x - 1 > 4 \implies x > 4 + 1 \implies x > 5$

Soluzione 1: $(5, +\infty)$

2. Risolviamo la seconda disequazione:

$2x \leq 2x - 3 \implies 2x - 2x \leq -3 \implies 0 \leq -3$

Questa disuguaglianza è falsa. Quindi la seconda disequazione è impossibile ($\emptyset$).

3. Intersezione delle soluzioni:

Dato che una delle disequazioni del sistema è impossibile, non ci sarà alcun valore di $x$ che possa soddisfare tutte le condizioni contemporaneamente.

Soluzione finale: $\emptyset$ (Il sistema è impossibile).

Esempio 3: Sistema con disequazione indeterminata e una determinata

Risolvi il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 3x + 1 \geq 3x - 2 \\ -x < 4 \end{cases}$

Soluzione:

1. Risolviamo la prima disequazione:

$3x + 1 \geq 3x - 2 \implies 3x - 3x \geq -2 - 1 \implies 0 \geq -3$

Questa disuguaglianza è sempre vera. Quindi la prima disequazione è indeterminata, la sua soluzione è $(-\infty, +\infty)$.

2. Risolviamo la seconda disequazione:

$-x < 4 \implies x > -4$ (abbiamo diviso per $-1$, quindi il verso si inverte)

Soluzione 2: $(-4, +\infty)$

3. Intersezione delle soluzioni:

Se una disequazione ha come soluzione tutto $\mathbb{R}$, l'intersezione con un'altra disequazione sarà semplicemente la soluzione dell'altra disequazione.

Soluzione finale: $(-4, +\infty)$

Esempio 4: Sistema con più disequazioni e coefficienti negativi

Risolvi il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 2x - 3 > 5 \\ -x + 1 \leq -2 \\ x + 4 < 10 \end{cases}$

Soluzione:

1. Risolviamo la prima disequazione:

$2x - 3 > 5 \implies 2x > 5 + 3 \implies 2x > 8 \implies x > 4$

Soluzione 1: $(4, +\infty)$

2. Risolviamo la seconda disequazione:

$-x + 1 \leq -2 \implies -x \leq -2 - 1 \implies -x \leq -3 \implies x \geq 3$ (verso invertito)

Soluzione 2: $[3, +\infty)$

3. Risolviamo la terza disequazione:

$x + 4 < 10 \implies x < 10 - 4 \implies x < 6$

Soluzione 3: $(-\infty, 6)$

4. Rappresentiamo le soluzioni sulla retta reale per trovare l'intersezione:

Linee di soluzione:
4 3 6 Eq1 Eq2 Eq3 0

Analizzando le tre linee, la regione comune a tutte è l'intervallo $(4, 6)$.

Soluzione finale: $(4, 6)$

Quesiti a Risposta Multipla

1. La soluzione di un sistema di disequazioni è l'insieme dei valori che soddisfano:

2. Se una delle disequazioni in un sistema è impossibile, cosa succede al sistema intero?

3. La rappresentazione grafica della soluzione di un sistema di disequazioni su una retta reale mostra:

4. Se una disequazione ha come soluzione $(-\infty, +\infty)$, e un'altra ha soluzione $[0, 5)$, qual è la soluzione del sistema?

5. Come si indica che un punto è incluso nell'intervallo di soluzione su una retta reale?

6. Se il sistema è: $\begin{cases} x > 3 \\ x < 1 \end{cases}$ qual è la sua soluzione?

7. Qual è il significato della notazione $\emptyset$ come soluzione?

8. Se la soluzione di una disequazione è un intervallo aperto, si usano:

9. Per risolvere un sistema di disequazioni, il primo passo è:

10. Se la prima disequazione dà $x > 5$ e la seconda $x \geq 7$, qual è la soluzione del sistema?

Esercizi con Calcoli

1. Risolvi il sistema: $\begin{cases} x - 2 < 3 \\ x + 4 \geq 7 \end{cases}$

2. Risolvi il sistema: $\begin{cases} 2x + 1 \leq 9 \\ -x > -4 \end{cases}$

3. Risolvi il sistema: $\begin{cases} x + 5 < 2 \\ 3x - 1 \geq 8 \end{cases}$

4. Risolvi il sistema: $\begin{cases} 4x - 7 > 1 \\ x \geq 2 \end{cases}$

5. Risolvi il sistema: $\begin{cases} 0x < 10 \\ x + 3 \leq 8 \end{cases}$

6. Risolvi il sistema: $\begin{cases} 2x - 5 \geq 2x + 1 \\ x > 0 \end{cases}$

7. Risolvi il sistema: $\begin{cases} 5x + 2 < 17 \\ -2x \leq -6 \end{cases}$

8. Risolvi il sistema: $\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ x + 2 < 6 \\ -x < -2 \end{cases}$

9. Risolvi il sistema: $\begin{cases} 7 - x \leq 5 \\ 3x + 1 > 7 \end{cases}$

10. Risolvi il sistema: $\begin{cases} 2(x + 1) > x - 3 \\ x \leq 1 \end{cases}$