Introduzione: Inclinazione e Posizione
Abbiamo visto come trovare l'equazione di una retta conoscendo due punti. Un'altra informazione comune che può definire una retta è la sua pendenza (o coefficiente angolare) e un punto per cui passa.
Intuitivamente, una pendenza ci dice quanto la retta è "in salita" o "in discesa", e un punto ci dice da dove la retta passa. Insieme, queste due informazioni sono sufficienti per individuare univocamente una retta (a meno che la pendenza non sia indefinita, cioè una retta verticale).
Questa forma dell'equazione è particolarmente utile quando la pendenza è già nota o facile da calcolare (ad esempio, quando si lavora con rette parallele o perpendicolari, argomenti che vedremo in seguito).
Formula per la retta per un punto e con pendenza data (forma punto-pendenza)
Data una retta con pendenza $m$ che passa per un punto $P_0(x_0, y_0)$, la sua equazione può essere scritta come:
$$ y - y_0 = m(x - x_0) $$
Questa è nota come la forma punto-pendenza dell'equazione della retta. È un'equazione lineare e può essere facilmente convertita nella forma esplicita ($y = mx + q$) o implicita ($ax + by + c = 0$).
Come funziona la formula:
Questa formula deriva direttamente dalla definizione di pendenza. Ricordiamo che la pendenza $m$ tra due punti $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ è data da $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Se consideriamo $P_0(x_0, y_0)$ come un punto noto sulla retta e $P(x, y)$ come un qualsiasi altro punto generico sulla stessa retta, la pendenza tra questi due punti deve essere $m$:
$$ m = \frac{y - y_0}{x - x_0} $$
Moltiplicando entrambi i lati per $(x - x_0)$, otteniamo la formula punto-pendenza:
$$ y - y_0 = m(x - x_0) $$
Casi Particolari
- Rette orizzontali: Se la pendenza $m=0$, la formula diventa $y - y_0 = 0(x - x_0)$, che si semplifica in $y - y_0 = 0$, o semplicemente $y = y_0$. Questo è coerente con quanto sappiamo sulle rette orizzontali.
- Rette verticali: La forma punto-pendenza non può essere usata direttamente per le rette verticali perché la loro pendenza è indefinita. In questi casi, se la retta passa per $P_0(x_0, y_0)$, la sua equazione è semplicemente $x = x_0$.
Esempi Guidati
Esempio 1: Trovare l'equazione dati punto e pendenza
Trova l'equazione della retta che passa per il punto $P(2, 3)$ e ha pendenza $m = 4$.
Soluzione:
Usiamo la formula $y - y_0 = m(x - x_0)$.
Sostituiamo $x_0 = 2, y_0 = 3, m = 4$:
$$ y - 3 = 4(x - 2) $$
Espandiamo il lato destro:
$$ y - 3 = 4x - 8 $$
Isoliamo $y$ per ottenere la forma esplicita:
$$ y = 4x - 8 + 3 $$
$$ y = 4x - 5 $$
L'equazione della retta è $y = 4x - 5$.
Esempio 2: Pendenza negativa e coordinate negative
Determina l'equazione della retta che passa per $Q(-1, 5)$ e ha pendenza $m = -2/3$.
Soluzione:
Usiamo la formula $y - y_0 = m(x - x_0)$.
Sostituiamo $x_0 = -1, y_0 = 5, m = -2/3$:
$$ y - 5 = -\frac{2}{3}(x - (-1)) $$
$$ y - 5 = -\frac{2}{3}(x + 1) $$
Moltiplichiamo entrambi i lati per 3 per eliminare il denominatore:
$$ 3(y - 5) = -2(x + 1) $$
$$ 3y - 15 = -2x - 2 $$
Convertiamo in forma implicita (portando tutto a sinistra):
$$ 2x + 3y - 15 + 2 = 0 $$
$$ 2x + 3y - 13 = 0 $$
L'equazione della retta in forma implicita è $2x + 3y - 13 = 0$.
Esempio 3: Retta orizzontale
Scrivi l'equazione della retta che passa per $(4, -2)$ e ha pendenza $m = 0$.
Soluzione:
Poiché la pendenza $m=0$, la retta è orizzontale.
Usando $y - y_0 = m(x - x_0)$:
$y - (-2) = 0(x - 4)$
$y + 2 = 0$
$y = -2$
L'equazione della retta è $y = -2$.
Esempio 4: Retta verticale
Scrivi l'equazione della retta che passa per $(-3, 6)$ ed è verticale.
Soluzione:
Le rette verticali hanno una pendenza indefinita e la loro equazione è della forma $x = k$.
Poiché la retta passa per $(-3, 6)$, la sua coordinata $x$ è sempre $-3$.
L'equazione della retta è $x = -3$.
Quesiti a Risposta Multipla
Esercizi con Calcoli
1. Trova l'equazione della retta che passa per $A(1, 5)$ e ha pendenza $m = 2$.
2. Determina l'equazione della retta che passa per $P(-3, -2)$ e ha pendenza $m = -1/2$. Scrivila in forma implicita.
3. Trova l'equazione della retta che passa per l'origine e ha pendenza $m = 5$.
4. Scrivi l'equazione della retta che passa per $(7, 1)$ ed è orizzontale.
5. Scrivi l'equazione della retta che passa per $(-4, 0)$ ed è verticale.