Capitolo 22: Sistemi lineari (metodo della sostituzione e di Cramer)

Introduzione: Risolvere più Equazioni Insieme

Finora abbiamo trattato equazioni e disequazioni singole. Tuttavia, in molti problemi reali e in diverse aree della matematica (come in geometria analitica per trovare il punto di intersezione tra rette, o in fisica), ci si trova di fronte a situazioni in cui è necessario soddisfare contemporaneamente più condizioni, espresse da più equazioni. Per affrontare questi casi, si utilizzano i sistemi di equazioni.

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di due o più equazioni lineari (di primo grado) che devono essere soddisfatte simultaneamente dalle stesse variabili. La soluzione di un sistema è la coppia (o le coppie) di valori delle variabili che rendono vere tutte le equazioni del sistema.

Classificazione dei Sistemi Lineari

Un sistema lineare può essere classificato in base al numero di soluzioni che possiede:

• Determinato: Ha una e una sola soluzione (una coppia di valori per le variabili). Graficamente, le rette si intersecano in un unico punto.
• Indeterminato: Ha infinite soluzioni. Graficamente, le due rette sono coincidenti (sono la stessa retta).
• Impossibile: Non ha alcuna soluzione. Graficamente, le due rette sono parallele e distinte.

Metodo della Sostituzione

Il metodo della sostituzione è uno dei più intuitivi e diretti per risolvere sistemi di equazioni. È particolarmente utile quando una delle equazioni ha una variabile con coefficiente 1 (o -1), rendendo facile isolarla.

I passaggi sono i seguenti:

1. Isolare una variabile: Scegli un'equazione e isola una delle variabili (es. $x$ o $y$) in termini dell'altra variabile e delle costanti. È preferibile scegliere una variabile con coefficiente 1 o -1 per evitare frazioni.
2. Sostituire: Sostituisci l'espressione trovata nel passaggio 1 nell'altra equazione. Questo eliminerà una variabile dall'altra equazione, lasciandoti con un'equazione in una sola variabile.
3. Risolvere per la prima variabile: Risolvi l'equazione a una variabile ottenuta nel passaggio 2.
4. Trovare la seconda variabile: Sostituisci il valore trovato nel passaggio 3 nell'espressione isolata del passaggio 1 per trovare il valore dell'altra variabile.
5. Verificare la soluzione: Sostituisci entrambi i valori (la coppia soluzione) in entrambe le equazioni originali per assicurarti che soddisfino entrambe le uguaglianze.

Metodo di Cramer (per sistemi $2 \times 2$)

Il metodo di Cramer è un metodo più avanzato basato sui determinanti delle matrici, particolarmente efficiente per sistemi $2 \times 2$ (due equazioni e due incognite) e $3 \times 3$. Richiede che il sistema sia scritto in forma standard:

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Calcoliamo i seguenti determinanti:

• Determinante del sistema ($D$): Si forma con i coefficienti di $x$ e $y$. Se $D \neq 0$, il sistema è determinato.

  $$ D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 $$

• Determinante di $x$ ($D_x$): Si ottiene sostituendo la colonna dei coefficienti di $x$ con la colonna dei termini noti ($c_1, c_2$).

  $$ D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1 b_2 - c_2 b_1 $$

• Determinante di $y$ ($D_y$): Si ottiene sostituendo la colonna dei coefficienti di $y$ con la colonna dei termini noti ($c_1, c_2$).

  $$ D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1 c_2 - a_2 c_1 $$

Una volta calcolati i determinanti, le soluzioni $x$ e $y$ sono date da:

$$ x = \frac{D_x}{D} \quad \text{e} \quad y = \frac{D_y}{D} $$

Casi particolari con il metodo di Cramer:

• Se $D = 0$ e $D_x = 0$ e $D_y = 0$: Il sistema è indeterminato.
• Se $D = 0$ e almeno uno tra $D_x$ o $D_y$ è diverso da zero: Il sistema è impossibile.

Esempi Guidati