Introduzione: Equazioni numeriche intere lineari
Dopo aver compreso la differenza tra equazioni e identità, e i principi di equivalenza, siamo pronti ad affrontare le equazioni numeriche intere lineari. Si tratta delle equazioni più semplici da risolvere, ma sono fondamentali per costruire una solida base algebrica.
Cosa sono?
Un'equazione è definita numerica se non contiene altre lettere oltre alla variabile incognita (solitamente $x$). È intera se la variabile incognita non compare al denominatore. È lineare (o di primo grado) se la variabile incognita ha come esponente massimo 1 (ad esempio, $x^1$ anziché $x^2$ o $x^3$).
La forma generale di un'equazione numerica intera lineare è $Ax + B = 0$, dove $A$ e $B$ sono numeri reali e $A \neq 0$. Se $A=0$, l'equazione può essere indeterminata (se $B=0$) o impossibile (se $B \neq 0$).
Come si risolvono?
Il nostro obiettivo è isolare la variabile incognita ($x$) su un lato dell'equazione. Per fare ciò, useremo i principi di equivalenza che abbiamo studiato nel capitolo precedente.
Ecco i passaggi generali per risolvere un'equazione lineare:
- Eliminare le parentesi: Se presenti, usa la proprietà distributiva per rimuovere le parentesi.
- Spostare i termini con la $x$: Usa il primo principio di equivalenza per spostare tutti i termini contenenti la variabile incognita ($x$) a un membro dell'equazione (di solito il sinistro) e tutti i termini noti (numeri senza $x$) all'altro membro (di solito il destro). Ricorda di cambiare il segno dei termini quando li sposti da un membro all'altro.
- Sommare i termini simili: Raggruppa e somma i termini simili in ciascun membro dell'equazione. Otterrai una forma del tipo $Ax = B$.
- Isolare la $x$: Usa il secondo principio di equivalenza per dividere entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente della $x$ (cioè $A$), purché $A$ sia diverso da zero.
- Verificare la soluzione (opzionale ma consigliato): Sostituisci il valore trovato per $x$ nell'equazione originale per vedere se l'uguaglianza è verificata.
Ricorda i tre casi possibili per le equazioni lineari:
- Determinata: Se $A \neq 0$, avrai una singola soluzione ($x = \frac{B}{A}$).
- Impossibile: Se $A = 0$ e $B \neq 0$, l'equazione diventa $0 = B$ (un numero diverso da zero), che è sempre falsa. Non ci sono soluzioni.
- Indeterminata: Se $A = 0$ e $B = 0$, l'equazione diventa $0 = 0$, che è sempre vera. Ci sono infinite soluzioni (qualsiasi numero reale).
Esempi Guidati
Esempio 1: Equazione lineare base
Risolvi l'equazione: $5x - 7 = 3x + 1$
Soluzione:
1. Sposta i termini con $x$ a sinistra e i termini noti a destra:
$5x - 3x = 1 + 7$
2. Somma i termini simili:
$2x = 8$
3. Isola la $x$ dividendo per il coefficiente:
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$
Verifica: $5(4) - 7 = 20 - 7 = 13$
$3(4) + 1 = 12 + 1 = 13$
L'equazione è determinata e la soluzione è $x=4$.
Esempio 2: Equazione con parentesi
Risolvi l'equazione: $2(x + 3) - 4 = x + 8$
Soluzione:
1. Elimina le parentesi:
$2x + 6 - 4 = x + 8$
$2x + 2 = x + 8$
2. Sposta i termini con $x$ a sinistra e i termini noti a destra:
$2x - x = 8 - 2$
3. Somma i termini simili:
$x = 6$
Verifica: $2(6 + 3) - 4 = 2(9) - 4 = 18 - 4 = 14$
$6 + 8 = 14$
L'equazione è determinata e la soluzione è $x=6$.
Esempio 3: Equazione Impossibile
Risolvi l'equazione: $4x + 5 = 4x - 2$
Soluzione:
1. Sposta i termini con $x$ a sinistra e i termini noti a destra:
$4x - 4x = -2 - 5$
2. Somma i termini simili:
$0x = -7$
$0 = -7$
Poiché si arriva a un'uguaglianza falsa ($0$ non è uguale a $-7$), l'equazione è impossibile. Non ha soluzioni.
Esempio 4: Equazione Indeterminata
Risolvi l'equazione: $3(x - 1) + 3 = 3x$
Soluzione:
1. Elimina le parentesi:
$3x - 3 + 3 = 3x$
$3x = 3x$
2. Sposta i termini con $x$ a sinistra:
$3x - 3x = 0$
3. Somma i termini simili:
$0x = 0$
$0 = 0$
Poiché si arriva a un'uguaglianza sempre vera ($0$ è uguale a $0$), l'equazione è indeterminata. Ha infinite soluzioni, cioè qualsiasi numero reale.
Quesiti a Risposta Multipla
Esercizi con Calcoli
1. Risolvi l'equazione: $7x + 2 = 5x + 8$
2. Risolvi l'equazione: $3(x - 5) = 2x - 10$
3. Risolvi l'equazione: $4x + 9 = 4x + 1$
4. Risolvi l'equazione: $6y - 4 + y = 3y + 12$
5. Risolvi l'equazione: $5(z - 2) + 10 = 5z$
6. Risolvi l'equazione: $10 - (2x + 3) = x - 5$
7. Risolvi l'equazione: $8 - x = 2x - 1$
8. Risolvi l'equazione: $2(w + 1) + 3w = 7w - 4$
9. Risolvi l'equazione: $2x + (x - 4) = 3x - 4$
10. Risolvi l'equazione: $1 + 2(x + 3) = 3x - 1$