Capitolo 3: Equazioni di 2° grado frazionarie

Gestire le equazioni quadratiche con le frazioni!

Introduzione: Cosa sono le Equazioni Frazionarie?

Finora abbiamo trattato equazioni di secondo grado dove i termini sono interi o, al massimo, frazioni con denominatore numerico costante. Tuttavia, in molte situazioni, le incognite possono apparire anche al denominatore di espressioni algebriche. Queste sono le equazioni di 2° grado frazionarie (o fratte).

Risolvere un'equazione frazionaria richiede un passaggio preliminare fondamentale: definire le Condizioni di Esistenza (C.E.). Questo perché non è possibile dividere per zero, quindi dobbiamo assicurarci che i denominatori contenenti l'incognita non si annullino per i valori delle soluzioni che troviamo.

Passaggi per Risolvere un'Equazione di 2° grado Frazionaria

Seguire questi passaggi ti aiuterà a risolvere correttamente le equazioni frazionarie:

  1. Scomporre i denominatori: Se i denominatori sono espressioni polinomiali, scomponili in fattori primi (se possibile) per semplificare la ricerca del minimo comune multiplo.
  2. Determinare le Condizioni di Esistenza (C.E.): Poni ogni denominatore che contiene l'incognita diverso da zero e risolvi queste mini-equazioni. I valori di $x$ che annullano i denominatori sono esclusi dalle soluzioni finali.
  3. Calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori: Trova il m.c.m. di tutti i denominatori (numerici e letterali).
  4. Eliminare i denominatori: Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per il m.c.m. per eliminare i denominatori. Questo trasformerà l'equazione frazionaria in un'equazione intera.
  5. Risolvere l'equazione intera: Riduci l'equazione intera alla forma canonica $ax^2 + bx + c = 0$ e risolvila usando la formula generale o ridotta.
  6. Verificare le soluzioni con le C.E.: Confronta le soluzioni trovate con le Condizioni di Esistenza. Le soluzioni che non rispettano le C.E. devono essere scartate.

Il passaggio più critico è la determinazione delle C.E. e la verifica finale, poiché le soluzioni che rendono i denominatori nulli non sono valide per l'equazione originale.

Esempi Guidati

Esempio 1: Equazione Frazionaria Semplice

Risolvi l'equazione: $ \frac{x^2}{x-1} - \frac{1}{x-1} = 2 $

Soluzione:

  1. Denominatori: Abbiamo solo $(x-1)$.
  2. C.E.: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
  3. m.c.m.: Il m.c.m. è $(x-1)$.
  4. Eliminare i denominatori: Moltiplichiamo tutta l'equazione per $(x-1)$:

    $ (x-1) \cdot \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{1}{x-1} \right) = 2 \cdot (x-1) $

    $ x^2 - 1 = 2x - 2 $

  5. Risolvere l'equazione intera:

    $ x^2 - 2x + 1 = 0 $

    È un quadrato perfetto $(x-1)^2 = 0$.

    La soluzione è $x = 1$ (soluzione doppia).

  6. Verificare le soluzioni con le C.E.:

    Abbiamo trovato $x=1$. Ma le C.E. ci dicono che $x \neq 1$.

    Quindi, la soluzione $x=1$ non è accettabile.

    L'equazione è impossibile (non ha soluzioni accettabili).

Esempio 2: Con Denominatori diversi e Scomposizione

Risolvi l'equazione: $ \frac{2}{x} + \frac{x-1}{x+2} = \frac{x^2 - 2}{x(x+2)} $

Soluzione:

  1. Scomporre i denominatori: I denominatori sono già scomposti: $x$, $x+2$, $x(x+2)$.
  2. C.E.:

    $x \neq 0$

    $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

    Quindi, C.E.: $x \neq 0$ e $x \neq -2$.

  3. m.c.m.: Il m.c.m. dei denominatori è $x(x+2)$.
  4. Eliminare i denominatori: Moltiplichiamo ogni termine per il m.c.m.:

    $ x(x+2) \cdot \frac{2}{x} + x(x+2) \cdot \frac{x-1}{x+2} = x(x+2) \cdot \frac{x^2 - 2}{x(x+2)} $

    $ 2(x+2) + x(x-1) = x^2 - 2 $

    $ 2x + 4 + x^2 - x = x^2 - 2 $

  5. Risolvere l'equazione intera:

    $ x^2 + x + 4 = x^2 - 2 $

    Spostiamo tutti i termini a sinistra:

    $ x^2 - x^2 + x + 4 + 2 = 0 $

    $ x + 6 = 0 $

    Questa è un'equazione lineare: $x = -6$.

  6. Verificare le soluzioni con le C.E.:

    Abbiamo trovato $x = -6$. Le C.E. erano $x \neq 0$ e $x \neq -2$.

    La soluzione $x = -6$ rispetta le C.E., quindi è accettabile.

    La soluzione è $x = -6$.

Esempio 3: Equazione con Denominatore Fattorizzabile

Risolvi l'equazione: $ \frac{x}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{8}{x^2 - 4} $

Soluzione:

  1. Scomporre i denominatori:

    $x-2$ (già scomposto)

    $x+2$ (già scomposto)

    $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ (differenza di quadrati)

  2. C.E.:

    $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

    $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

    Quindi, C.E.: $x \neq 2$ e $x \neq -2$.

  3. m.c.m.: Il m.c.m. dei denominatori è $(x-2)(x+2)$.
  4. Eliminare i denominatori:

    $ (x-2)(x+2) \cdot \left( \frac{x}{x-2} + \frac{1}{x+2} \right) = (x-2)(x+2) \cdot \frac{8}{(x-2)(x+2)} $

    $ x(x+2) + 1(x-2) = 8 $

    $ x^2 + 2x + x - 2 = 8 $

  5. Risolvere l'equazione intera:

    $ x^2 + 3x - 2 - 8 = 0 $

    $ x^2 + 3x - 10 = 0 $

    Usiamo la formula generale: $a=1, b=3, c=-10$

    $ \Delta = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 $

    $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-3 \pm 7}{2} $

    $ x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

    $ x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $

  6. Verificare le soluzioni con le C.E.:

    Abbiamo trovato $x_1 = 2$ e $x_2 = -5$.

    Le C.E. erano $x \neq 2$ e $x \neq -2$.

    La soluzione $x_1 = 2$ non è accettabile perché annulla il denominatore.

    La soluzione $x_2 = -5$ rispetta le C.E. ed è accettabile.

    L'unica soluzione accettabile è $x = -5$.

Quesiti a Risposta Multipla

1. Qual è il primo passo fondamentale per risolvere un'equazione frazionaria?

2. Data l'equazione $\frac{1}{x} + x = 2$, qual è la C.E.?

3. Se, dopo aver risolto un'equazione frazionaria, una soluzione trovata rende un denominatore uguale a zero, cosa si fa?

4. Qual è il m.c.m. di $x-3$ e $x^2-9$?

5. Dopo aver eliminato i denominatori, un'equazione frazionaria si trasforma in un'equazione:

Esercizi di Applicazione

1. Risolvi: $\frac{x^2}{x+3} - \frac{9}{x+3} = 0$

2. Risolvi: $\frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+1} = \frac{2x}{x^2-1}$

3. Risolvi: $\frac{x}{x-2} = \frac{x-1}{x+1} + \frac{1}{x-2}$

4. Risolvi: $\frac{2x+1}{x^2+x} - \frac{1}{x} = \frac{3}{x+1}$

5. Risolvi: $1 + \frac{x}{x-4} = \frac{4}{x-4}$