Introduzione: Dalla Formula Generale alla Ridotta
Nel capitolo precedente abbiamo introdotto le equazioni di 2° grado nella loro forma canonica $ax^2 + bx + c = 0$. Per risolvere queste equazioni e trovare le loro soluzioni (o radici), esiste una formula generale. Tuttavia, quando il coefficiente $b$ è un numero pari, possiamo utilizzare una versione "ridotta" di questa formula, che semplifica i calcoli e riduce la possibilità di errori.
La formula ridotta non è una formula nuova in sé, ma una derivazione della formula generale che si applica in un caso specifico, rendendo il processo più efficiente.
La Formula Generale (o risolutiva)
Per completezza, ricordiamo la formula generale per risolvere un'equazione di 2° grado $ax^2 + bx + c = 0$:
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Il termine sotto radice, $b^2 - 4ac$, è chiamato discriminante e viene indicato con $\Delta$ (delta maiuscolo). Il suo valore determina la natura delle soluzioni:
- Se $\Delta > 0$: Due soluzioni reali e distinte.
- Se $\Delta = 0$: Due soluzioni reali e coincidenti (una soluzione doppia).
- Se $\Delta < 0$: Nessuna soluzione reale (due soluzioni complesse coniugate).
Quando usare la Formula Ridotta?
La formula ridotta si applica quando il coefficiente del termine lineare, $b$, è un numero pari. In questo caso, possiamo definire $b' = \frac{b}{2}$ (si legge "b primo").
La Formula Ridotta
Quando $b$ è pari, l'equazione $ax^2 + bx + c = 0$ può essere risolta usando la seguente formula ridotta:
$$ x_{1,2} = \frac{-b' \pm \sqrt{(b')^2 - ac}}{a} $$
In questa formula, il discriminante ridotto è $\Delta' = (b')^2 - ac$. Anche in questo caso, il segno di $\Delta'$ determina la natura delle soluzioni allo stesso modo del $\Delta$ normale.
- Se $\Delta' > 0$: Due soluzioni reali e distinte.
- Se $\Delta' = 0$: Due soluzioni reali e coincidenti.
- Se $\Delta' < 0$: Nessuna soluzione reale.
L'utilizzo della formula ridotta può semplificare notevolmente i calcoli, specialmente quando si lavora con numeri grandi, riducendo la possibilità di errori di calcolo.
Esempi Guidati
Esempio 1: Applicazione della formula ridotta ($\Delta' > 0$)
Risolvi l'equazione $x^2 - 6x + 8 = 0$ usando la formula ridotta.
Soluzione:
Coefficienti: $a=1, b=-6, c=8$.
Poiché $b=-6$ è pari, possiamo usare la formula ridotta. Calcoliamo $b'$:
$b' = \frac{b}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ora applichiamo la formula $x_{1,2} = \frac{-b' \pm \sqrt{(b')^2 - ac}}{a}$:
$$ x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - (1)(8)}}{1} $$
$$ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{1} $$
$$ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{1} $$
$$ x_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{1} $$
Le due soluzioni sono:
$x_1 = \frac{3 + 1}{1} = 4$
$x_2 = \frac{3 - 1}{1} = 2$
Le soluzioni sono $x_1 = 4$ e $x_2 = 2$.
Esempio 2: Applicazione della formula ridotta ($\Delta' = 0$)
Risolvi l'equazione $x^2 + 4x + 4 = 0$ usando la formula ridotta.
Soluzione:
Coefficienti: $a=1, b=4, c=4$.
Poiché $b=4$ è pari, calcoliamo $b'$:
$b' = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Applichiamo la formula $x_{1,2} = \frac{-b' \pm \sqrt{(b')^2 - ac}}{a}$:
$$ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - (1)(4)}}{1} $$
$$ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{1} $$
$$ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{1} $$
$$ x_{1,2} = \frac{-2 \pm 0}{1} $$
Le due soluzioni sono coincidenti:
$x_1 = x_2 = -2$
La soluzione è $x = -2$ (doppia).
Esempio 3: Applicazione della formula ridotta ($\Delta' < 0$)
Risolvi l'equazione $2x^2 - 2x + 1 = 0$ usando la formula ridotta.
Soluzione:
Coefficienti: $a=2, b=-2, c=1$.
Poiché $b=-2$ è pari, calcoliamo $b'$:
$b' = \frac{b}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Applichiamo la formula $x_{1,2} = \frac{-b' \pm \sqrt{(b')^2 - ac}}{a}$:
$$ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - (2)(1)}}{2} $$
$$ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 2}}{2} $$
$$ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{-1}}{2} $$
Poiché il discriminante $\Delta' = -1$ è negativo, non ci sono soluzioni reali.
L'equazione è impossibile in $\mathbb{R}$ (non ha soluzioni reali).
Esempio 4: Equazione da riordinare
Risolvi l'equazione $4x^2 = 8x - 3$ usando la formula ridotta.
Soluzione:
Per prima cosa, riscriviamo l'equazione in forma canonica $ax^2 + bx + c = 0$:
$4x^2 - 8x + 3 = 0$
Coefficienti: $a=4, b=-8, c=3$.
Poiché $b=-8$ è pari, calcoliamo $b'$:
$b' = \frac{b}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Applichiamo la formula $x_{1,2} = \frac{-b' \pm \sqrt{(b')^2 - ac}}{a}$:
$$ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - (4)(3)}}{4} $$
$$ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{4} $$
$$ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{4} $$
$$ x_{1,2} = \frac{4 \pm 2}{4} $$
Le due soluzioni sono:
$x_1 = \frac{4 + 2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{4 - 2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Le soluzioni sono $x_1 = \frac{3}{2}$ e $x_2 = \frac{1}{2}$.
Quesiti a Risposta Multipla
Esercizi di Applicazione
1. Risolvi l'equazione $x^2 - 4x + 3 = 0$ usando la formula ridotta.
2. Risolvi l'equazione $x^2 + 10x + 25 = 0$ usando la formula ridotta.
3. Risolvi l'equazione $2x^2 - 4x + 5 = 0$ usando la formula ridotta.
4. Risolvi l'equazione $3x^2 + 6x - 9 = 0$ usando la formula ridotta.
5. Risolvi l'equazione $x^2 - 12x + 36 = 0$ usando la formula ridotta.