Capitolo 20: Iperbole Equilatera

Introduzione: Un'Iperbole Speciale

Nel capitolo precedente abbiamo esplorato la definizione e l'equazione canonica dell'iperbole. Ora ci concentriamo su un caso particolare di grande importanza in matematica e fisica: l'iperbole equilatera.

L'iperbole equilatera si distingue per una proprietà chiave: i suoi semiassi trasverso e coniugato hanno la stessa lunghezza, il che la rende particolarmente simmetrica e le conferisce asintoti perpendicolari.

Definizione e Proprietà Fondamentali

Un'iperbole si dice equilatera se i suoi semiassi, $a$ (semiasse trasverso) e $b$ (semiasse coniugato), sono uguali in lunghezza. Ovvero, $a=b$.

Equazione Canonica dell'Iperbole Equilatera (Centro nell'Origine)

Sostituendo $b=a$ nelle equazioni canoniche dell'iperbole generale ($\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ o $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$), otteniamo le forme per l'iperbole equilatera:

1. Fuochi sull'asse $x$:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - y^2 = a^2$

I vertici sono $(\pm a, 0)$.

2. Fuochi sull'asse $y$:

$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad y^2 - x^2 = a^2$

I vertici sono $(0, \pm a)$.

Proprietà Caratteristiche:

• Asintoti Perpendicolari: Le rette asintotiche per l'iperbole equilatera con fuochi sull'asse x sono $y = \pm \frac{a}{a}x = \pm x$. Queste sono le bisettrici dei quadranti e sono perpendicolari tra loro. Analogamente, per fuochi sull'asse y, gli asintoti sono $y = \pm \frac{a}{a}x = \pm x$. Questo è un segno distintivo dell'iperbole equilatera.
• Eccentricità Fissa: L'eccentricità ($e$) dell'iperbole equilatera è sempre la stessa. Sappiamo che $c^2 = a^2 + b^2$. Poiché $a=b$, $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Quindi $c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

  $e = \frac{c}{a} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$

  L'eccentricità di qualsiasi iperbole equilatera è sempre $\sqrt{2}$.

Iperbole Equilatera Riferita agli Asintoti ($xy=k$)

Un caso molto importante dell'iperbole equilatera è quando i suoi asintoti coincidono con gli assi cartesiani. In questo caso, l'equazione assume una forma particolarmente semplice.

Un'iperbole di questo tipo non ha gli assi di simmetria allineati con gli assi coordinati, ma i suoi asintoti sì. L'equazione è:

$xy = k$

Dove $k$ è una costante reale non nulla.

• Se $k > 0$, l'iperbole giace nel primo e terzo quadrante.
• Se $k < 0$, l'iperbole giace nel secondo e quarto quadrante.

Per un'iperbole del tipo $xy=k$:

• Centro: L'origine $(0,0)$.
• Asintoti: Gli assi coordinati, $x=0$ (asse y) e $y=0$ (asse x).
• Vertici:
  • Se $k > 0$: $V_1(\sqrt{k}, \sqrt{k})$, $V_2(-\sqrt{k}, -\sqrt{k})$.
  • Se $k < 0$: $V_1(\sqrt{-k}, -\sqrt{-k})$, $V_2(-\sqrt{-k}, \sqrt{-k})$. (o $V_1(\sqrt{|k|}, -\sqrt{|k|})$, $V_2(-\sqrt{|k|}, \sqrt{|k|})$)
• Fuochi:
  • Se $k > 0$: $F_1(\sqrt{2k}, \sqrt{2k})$, $F_2(-\sqrt{2k}, -\sqrt{2k})$.
  • Se $k < 0$: $F_1(\sqrt{-2k}, -\sqrt{-2k})$, $F_2(-\sqrt{-2k}, \sqrt{-2k})$. (o $F_1(\sqrt{2|k|}, -\sqrt{2|k|})$, $F_2(-\sqrt{2|k|}, \sqrt{2|k|}))$
• Semiassi: Per questa forma, $a = b = \sqrt{2|k|}$.
• Eccentricità: Sempre $e = \sqrt{2}$.

[Image of Hyperbola xy=k (k>0), showing branches in 1st and 3rd quadrants with axes as asymptotes]

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Esercizi di Applicazione