Capitolo 13: Esempi di problemi con la parabola

Soluzione:

L'equazione generale di una parabola con asse parallelo all'asse y è $y = ax^2 + bx + c$.

Dobbiamo sostituire le coordinate di ciascun punto nell'equazione per ottenere un sistema di tre equazioni in $a, b, c$:

• Punto $A(1, 0)$: $0 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = 0$
• Punto $B(0, -3)$: $-3 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = -3$
• Punto $C(-1, -4)$: $-4 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies a - b + c = -4$

Sostituendo $c = -3$ nelle prime due equazioni:

$a + b - 3 = 0 \implies a + b = 3$

$a - b - 3 = -4 \implies a - b = -1$

Ora abbiamo un sistema di due equazioni in $a$ e $b$:

$\begin{cases} a + b = 3 \\ a - b = -1 \end{cases}$

Sommando le due equazioni, otteniamo $2a = 2 \implies a = 1$.

Sostituendo $a = 1$ nella prima equazione, otteniamo $1 + b = 3 \implies b = 2$.

Quindi, i coefficienti sono $a=1, b=2, c=-3$.

L'equazione della parabola è $\mathbf{y = x^2 + 2x - 3}$.

Soluzione:

Abbiamo $V(x_V, y_V) = V(2, -1)$.

La formula per l'ascissa del vertice è $x_V = -\frac{b}{2a}$. Quindi $2 = -\frac{b}{2a} \implies b = -4a$.

L'equazione generale è $y = ax^2 + bx + c$.

Sappiamo che il vertice $V(2, -1)$ appartiene alla parabola, quindi possiamo sostituire le sue coordinate nell'equazione:

$-1 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 4a + 2b + c = -1$

Il punto $P(0, 3)$ appartiene anch'esso alla parabola:

$3 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 3$

Ora sostituiamo $b = -4a$ e $c = 3$ nell'equazione del vertice:

$4a + 2(-4a) + 3 = -1$

$4a - 8a + 3 = -1$

$-4a = -4 \implies a = 1$

Ora troviamo $b$: $b = -4a = -4(1) = -4$.

Quindi, i coefficienti sono $a=1, b=-4, c=3$.

L'equazione della parabola è $\mathbf{y = x^2 - 4x + 3}$.

Soluzione:

Scegliamo un sistema di coordinate in cui il vertice della parabola si trova all'origine, $V(0,0)$. Questo significa che la parabola avrà la forma $y = ax^2$.

Il punto più basso del cavo è a 10 metri dal livello della strada. Se il vertice è a $(0,0)$, questo significa che il livello della strada è $y=-10$. I piloni sono alti 50 metri rispetto al livello della strada, quindi le loro cime saranno a $y = 50 - 10 = 40$ metri rispetto al vertice.

I piloni distano 200 metri l'uno dall'altro, quindi sono a $\pm 100$ metri dall'asse di simmetria (che passa per il vertice). Le coordinate delle cime dei piloni saranno quindi $P_1(-100, 40)$ e $P_2(100, 40)$.

Sostituiamo le coordinate di uno di questi punti nell'equazione $y = ax^2$:

$40 = a(100)^2$

$40 = a(10000)$

$a = \frac{40}{10000} = \frac{4}{1000} = \frac{1}{250}$

Quindi l'equazione della parabola è $y = \frac{1}{250}x^2$.

Nota: Se avessimo posizionato il vertice a $(0, 10)$ e la strada a $y=0$, l'equazione sarebbe stata $y - 10 = ax^2 \implies y = ax^2 + 10$. In questo caso, le cime dei piloni sarebbero a $y=50$, con coordinate $(\pm 100, 50)$. Sostituendo: $50 = a(100)^2 + 10 \implies 40 = a(10000) \implies a = \frac{1}{250}$. L'equazione finale sarebbe $y = \frac{1}{250}x^2 + 10$. Entrambe le equazioni sono corrette a seconda del sistema di riferimento scelto.